назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69] [70] [71]


68

Так как процесс, протекающий в системе S, не является марковским, то для вероятностей состояний системы S мы не можем написать ни системы дифференциальных уравнений Колмогорова, ни системы линейных алгебраических уравнений.

Чтобы приближенно заменить этот процесс марковским, заменим состояние четырьмя последовательными псевдосостояниями:

Sj" - выявляется причина неисправности банкомата; sj* - причина неисправности найдена, ремонт начина-

ется;

sf - ремонт продолжается; s* - ремонт заканчивается.

В граф истинных состояний системы S вместо состояния вводится именно четыре псевдосостояния потому, что переход системы S из состояния в состояние s, порождается потоком Эрланга 4-го порядка

Время пребывания системы S в каждом из псевдосостояний s", sf, «2, будем считать распределенным по показательному закону (15.2) с параметром <=24. Тогда размеченный граф с псевдосостояниями будет иметь следующий вид (см. рис. 15.2).

«2

«2

Полученный таким образом псевдопроцесс будет уже марковским, поскольку все потоки событий, порождающие переходы системы S из состояния в состояние, будут уже пуассоновскими. Из графа на рис. 15.2 видно, что этот процесс является циклическим.



Пусть f„T,J,lf,T,%- средние времена пребывания системы S (подряд) соответственно в состояниях (15.3). Тогда

7;=Я-; (15.5)

741) J42) J43) J44) -1. 6)

7 = 1:Г«=4Д-- (15.7)

Ткк как рассматриваемый псевдопроцесс является марковским циклическим, то для нахождения финальных вероятностей состояний Pi,P2,P2\p,pi*,P2 можем применить формулу (13.4) при и=5, используя при этом (15.7), (15.6), (15.4),

А =7;(7; +Г2<> +7» +rf > +Г2<>)- =71(7; +Т2)-; р-=Т<ЧТ,+Т2Г={Щ{Т,+Т2)-, 1 = 1,2,3.4; (15.8)

Р2=ip=4 (f2/4)(7; -h ) = f2(7;+Т2Г.

Обозначим через Pl.P2f22*2 предельные вероятности пребывания системы S соответственно в состояниях

s„s\s\si\s\*\s2. (15.3)

Обозначим через {Ss) событие, состоящее в том, что система S находится в состоянии" s. Аналогичный смысл имеют обозначении {S = s{), г=1,2,3,4. Очевидно, что события ( 5=$2*), i=l, 2,3,4, несовместны и их объединение представляет собой событие {Ss). Поэтому по теореме сложения вероятностей

P2 = ii- (15.4)



Итак, при длительный эксплуатации банкомата он будет исправно работать с вероятностью p=0,5 и требовать ремонта с вероятностью 2=0,25.

Краткие выводы

в реальной финансово-экономической практике марковские процессы в чистом виде встречаются довольно редко, поскольку будущее системы, так или иначе, зависит от ее прошлого. Поэтому при анализе различных немарковских финансово-экономических процессов возникает задача приближенной замены их на марковские процессы.

Таким образом, полученные для p и формулы показывают, что вероятность пребывания в каждом из двух истинных состояний, как и для марковского процесса, равна относительному среднему времени пребывания (подряд) в каждом из этих состояний.

Подставляя в формулы (15.8) вместо средних времен T и их выражения через интенсивности потоков соответственно по формулам (15.5) и (15.7), окончательно найдем:

1 1 /I

Я р -1 1 4Я

Я р

Для нахождения численных значений предельных вероятностей p и р подставим в эти формулы А=2 и fi=2i; получим:

р,=0,75; р=0,25.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69] [70] [71]