§15
Замена
немарковских
процессов
марковскими
методом
псевдосостояний
в этом заключительном параграфе объясняется и на примере показывается, как методом псевдосостояний немарковские процессы, протекающие в системе под воздействием потоков Эрланга, можно заменить марковскими и определить для них финальные вероятности. Определенные таким образом финальные вероятности достаточно удовлетворительно характеризуют исходные немарковские процессы.
Случайные процессы в реальной финансово-экономической практике редко бывают марковскими, поскольку на протекание процесса в будущем влияет не только его состояние в текущий момент времени, но и то, как он протекал в прошлом.
Вопрос о возможности использования марковских процессов для моделирования финансово-экономических ситуаций сводится к вопросу о возможности приближенной
Вероятностно* моделироииие я финянсово-экономнческой области
замены немарковских процессов марковскими, что равносильно приближенной замене непуассоновских потоков событий, под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояния, пуассонойскими. В некоторых случаях эта возможность становится реальной, например когда число состояний системы сравнительно невелико, а непуассоновские потоки, о которых шла речь, можно считать (точно или приближенно) потоками Эрланга. Указанную замену можно осуществить так называемым методом псевдосостояний, заключающимся во введении в граф истинных состояний системы определенного числа фиктивных состояний - «псевдосостояний», превращающих немарковский процесс в марковский.
Поясним на примере идею метода псевдосостояний.
Пример 15.1. Рассмотрим в качестве системы S банкомат, который может выходить из строя под воздействием простейщего потока неисправностей с интенсивностью А=2 (неисправности в месяц). Вышедший из строя банкомат сразу начинает ремонтироваться - восстанавливаться. Случайная величина T=Ty представляющая собой время ремонта банкомата, распределена по закону Эрланга 4-го порядка:
А.р)=е-, t>0, (15.1)
(см. (7.1) при =4), где/г=24 (восстановлений в месяц). Случайное время rj ремонта банкомата есть не что иное, как интервал времени между любыми двумя соседними событиями в потоке Эрланга 4-го порядка восстановлений банкомата, который получается просеиванием исходного простейшего потока с интенсивностью ц. Чтобы ц равнялось 24 восстановлений в месяц, достаточно, чтобы математическое ожидание ЩТ], представляющее собой среднее время Ty ремонта банкомата (которое можно подсчитать эмпирически), равнялось 1/6 месяца, поскольку (см. (7.2))
Переход системы S из состояния s в состояние (по стрелке -») происходит под воздействием простейшего «потока отказов» («потока неисправностей») с интенсивностью А=2 неисправности в месяц и потому случайная величина, представляющая собой промежуток времени между любыми двумя соседними отказами (т.е. промежуток времени безотказной работы банкомата), распределена по показательному закону с параметром А=2 (см. (5.14))
f(t) = Xe-*=2e-, t>0.
Переход же системы S из состояния в состояние s, (по стрелке <-) происходит под воздействием уже не простейшего потока, а потока Эрланга 4-го порядка и потому случайная величина Т - время восстановления банкомата распределена по закону Эрланга 4-го порядка (15.1), в котором fi - интенсивность исходного простейшего потока, просеиванием которого образуется поток Эрланга 4-го порядка. Тогда, как известно (см. (7.5)), случайная величина T является суммой четырех независимых случайных величин, распределенных по показательному закону
fi,y(t) = ne-, t>0, (15.2)
с одним и тем же параметром ц.
Так как случайное время Т ремонта банкомата распределено не по показательному закону, поток восстановлений не является пуассоновским, и, следовательно, протекающий в системе S процесс не является марковским.
Покажем, как этот немарковский процесс заменить марковским и найти для него финальные вероятности состояний.
Данная система S может находиться только в двух истинных состояниях: s, - банкомат исправен, s- банкомат неисправен, ремонтируется. Граф истинных состояний системы S имеет следующий вид (см. рис. 15.1).