Отсюда финальные вероятности р,,можно выразить через финальную вероятность р,:
P2=Pv
Рлп1=-Щ-Pv
Pmt2--S-Ри
j
Pm*i - ~ Pl 1
пн-1+2 „ .
Л
Pn=-=-Pv l
(14.8)
Подставим выражения (14.8) в нормировочное условие
Pl +Р2 +РЗ +- + Pr,+Prnt+Pr2 +- + Рш»+РМ+РМ + = 1
и найдем p
+-=-A +...+-=-A +
откуда
где Wj определяется равенством (14.3) и, следовательно,
Pi=--
Подставив найденное выражение для p в (14.8), получим доказываемые формулы (14.2).
Пример 14.1. (ср. [ 2 ], пример 2, стр. 230). При планировании расходов на ремонт персонального компьютера обычно интерес представляют следующие его состояния: s - исправен, работает;
Sj- неисправен, остановлен; ведется поиск неисправности;
Sj - неисправность обнаружена и оказалась незначительной; ремонтируется силами пользователя; - неисправность обнаружена и оказалась серьезной; ремонт осуществляется специалистом, приглащен-ным из бюро обслуживания компьютеров; Sj- ремонт закончен; ведется подготовка к включению
компьютера в работу. Процесс, протекающий в компьютере, - однородный дискретный марковский (все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы компьютера из состояния в состояние, - простейшие), с непрерывным временем. Среднее время 7J исправной работы компьютера (подряд) равно 1,5 суток, среднее время поиска неисправности компьютера равно 1 часу, среднее время ремонта пользователем 7 = 4 часа, среднее время ремонта специалистом из бюро обслуживания = 6 часов, среднее время подготовки компьютера к работе = 45 мин.
Неисправность компьютера может быть устранена силами пользователя с вероятностью =0,65 и, следовательно, неисправность требует вызова специалиста из бюро об-
f 14. Всппщиеся циклические процессы
служивания с вероятностью 1-=0,35. Один час работы специалиста из бюро обслуживания оплачивается в размере k=200 руб.
Найдем финальные вероятности состояний компьютера и определим средний расход на оплату работы специалиста из бюро обслуживания компьютеров в сутки.
В качестве системы 5 рассмотрим компьютер. Граф состояний системы 5 будет иметь вид, изображенный на рис. 14.2.
Для нахождения финальных вероятностей предварительно приведем значения средних времен к одним единицам, например суткам: Т; =1,5 суток, 7 =1 час = 0,042 суток, 7 = 4 часа = 0,167 суток, 7 = 6 часов = 0,25 суток, 7 =45 минут=0,031 суток.
Тогда по формулам (14.3) при и=5, тЧ=2, з=9=0,65,
4=1-9=0,35, имеем
fw,f=w;?;++изГз+w,f,+w,%=
= lt5+1 0,042+ 0,65 0,167 +0,35 0,25+1 0,031 = l,769.
Следовательно, по формулам (14.2)
wf 1 5 1,769