§14
Ветвящиеся
циклические
процессы
в данном параграфе рассматриваются ветвящиеся циклические процессы и выводится формула финальных вероятностей, при условии, что известны вероятности ветвящихся переходов и средние времена пребывания системы в своих возможных состояниях.
Определение 14.1. Марковский процесс, протекающий в системе Sen состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если он является циклическим и отдельные состояния графа имеют разветвления, сходящиеся затем опять к одному состоянию.
На рис. 14.1 изображен граф ветвящегося циклического процесса с п состояниями; возможный непосредственный переход из состояний разветвляется на переходы в состояния s,, s2> •••> п,+.> из которых переходы сходятся в состояние s..
Формулы вычисления предельных вероятностей состояний;?,, -,р,, даются в следующей теореме.
Вероятностное моделирование в финансово-экономической области
Теорема 14.1. Пусть в системе S протекает ветвящейся циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, причем возможный непосредственный переход из состояния разветвляется на переходы в состояния S „ s .... s соответственно с
/П+1 m+Z tn+l
вероятностями 9,,, q, q., сумма которых >авна 1:
(14.1)
Переходы из состояний s,, s сходятся в состо-
яние S
m+i+r
Тогда финальные вероятности .....р соответственно
состояний системы S определяются следующими
формулами:
ft = „ . k = i.....и.
1, j = l,...,m,m+i+l.....и;
j = m+l,...,m+i.
(14.2)
(14.3)
a Tj - среднее время пребывания (подряд) системы S в со-
стоянии Sj.
Доказательство: Так же, как и в доказательстве теоремы 13.2, можно показать, что если из состояния выходит одна стрелка (т.е. нет разветвления), то плотность вероятности перехода из этого состояния в соседнее справа равна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы 5 в состоянии Sjl
А*,»+1 = Tj. = 1.....m -1, m+i+1,и -1;
А„д=7Г; (14.4)
Интенсивность потока уходов из состояния равна , где Т„ - среднее время пребывания (подряд) системы 5 в состоянии s. Тогда Я„„. (й = 1,...,г) будет представлять собой долю величины , определенную вероятностью q„i:
Я„,„.*=, (* = 1.....0. (14.5)
Составим по графу (на рис. 14.1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются финальные вероятности p.....р.
-Я,2Й+Я„,Р„=0,
-А2зР2+Я,2А=0,
~ктИ,тИпРтИ + Лп.т+,р„ = О,
~A„.j„+,P,„j - О,
~A,iH,>l.ni+i+2/i7i+i+l KiHljFHi+lPmH KiH2M»*lPm*2 - KiMmH+lPmH ~
-A„,P,+V..„P„-i=0.
(14.6)