назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [ 63 ] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


63

§14

Ветвящиеся

циклические

процессы

в данном параграфе рассматриваются ветвящиеся циклические процессы и выводится формула финальных вероятностей, при условии, что известны вероятности ветвящихся переходов и средние времена пребывания системы в своих возможных состояниях.

Определение 14.1. Марковский процесс, протекающий в системе Sen состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если он является циклическим и отдельные состояния графа имеют разветвления, сходящиеся затем опять к одному состоянию.

На рис. 14.1 изображен граф ветвящегося циклического процесса с п состояниями; возможный непосредственный переход из состояний разветвляется на переходы в состояния s,, s2> •••> п,+.> из которых переходы сходятся в состояние s..

Формулы вычисления предельных вероятностей состояний;?,, -,р,, даются в следующей теореме.



Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

т-Х.т

Теорема 14.1. Пусть в системе S протекает ветвящейся циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, причем возможный непосредственный переход из состояния разветвляется на переходы в состояния S „ s .... s соответственно с

/П+1 m+Z tn+l

вероятностями 9,,, q, q., сумма которых >авна 1:

(14.1)

Переходы из состояний s,, s сходятся в состо-

яние S

m+i+r

Тогда финальные вероятности .....р соответственно

состояний системы S определяются следующими

формулами:

ft = „ . k = i.....и.

1, j = l,...,m,m+i+l.....и;

j = m+l,...,m+i.

(14.2)

(14.3)

a Tj - среднее время пребывания (подряд) системы S в со-

стоянии Sj.



Доказательство: Так же, как и в доказательстве теоремы 13.2, можно показать, что если из состояния выходит одна стрелка (т.е. нет разветвления), то плотность вероятности перехода из этого состояния в соседнее справа равна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы 5 в состоянии Sjl

А*,»+1 = Tj. = 1.....m -1, m+i+1,и -1;

А„д=7Г; (14.4)

Интенсивность потока уходов из состояния равна , где Т„ - среднее время пребывания (подряд) системы 5 в состоянии s. Тогда Я„„. (й = 1,...,г) будет представлять собой долю величины , определенную вероятностью q„i:

Я„,„.*=, (* = 1.....0. (14.5)

Составим по графу (на рис. 14.1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются финальные вероятности p.....р.

-Я,2Й+Я„,Р„=0,

-А2зР2+Я,2А=0,

~ктИ,тИпРтИ + Лп.т+,р„ = О,

~A„.j„+,P,„j - О,

~A,iH,>l.ni+i+2/i7i+i+l KiHljFHi+lPmH KiH2M»*lPm*2 - KiMmH+lPmH ~

-A„,P,+V..„P„-i=0.

(14.6)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [ 63 ] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]