Ключевые слова и выражения
Циклический процесс; размеченный граф состояний системы, в которой протекает циклический процесс; финальные вероятности; система дифференциальных уравнений Колмогорова; плотности вероятностей перехода; среднее время пребывания системы (подряд) в определенном состоянии; доля среднего времени пребывания системы (подряд) в определенном состоянии.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение циклического процесса.
2. В каком случае циклический процесс совпадает с процессом гибели и размножения?
3. Какой вид имеет система дифференциальных уравнений в случае циклического процесса?
4. Какой вид имеет матрица плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние, если в ней протекает циклический процесс?
5. По каким формулам определяются финальные вероятности состояний, если известны плотности вероятностей переходов?
6. По каким формулам финальные вероятности выражаются через средние времена пребывания системы в состояниях?
7. Почему в случае циклического процесса существуют финальные вероятности?
Задания к §13
13.1. Рассмотрим систему S из примера 13.1 с теми же состояниями. Известны интенсивности простейших потоков
Вероятностное молеяироеаяне в финянсовоокономичесноя обяастн
ПОД воздействиями которых происходят переходы системы 5 из состояния S. в состояние На банкомат, находящийся в состоянии действует простейший поток отказов Я,2С интенсивностью 0,2 отказа в сутки. Из состояния Sj в состояние банкомат переводит простейший поток локализаций неисправности банкомата П с интенсивностью 5,3 локализаций в сутки. Из состояния в состояние банкомат переводит простейший поток окончаний ремонта с интенсивностью 8 окончаний ремонта в сутки. И наконец, из состояния 5 в состояние s банкомат переводит простейший поток включений банкомата Я,, с интенсивностью 28 включений в сутки.
Найти финальные вероятности состояний банка.
Замечание 13.1. Известные интенсивности представляют собой (почему?) плотности вероятностей переходов банкомата из состояния в состояние. Требуемые финальные вероятности можно найти по формуле (13.2).
13.2. Счетчик купюр MAGNER может пребывать в одном из следующих состояний: S, - исправен, работает; Sj - неисправен, неверно считает купюры; s3 неисправен, отключен;
- неисправен, ведется поиск неисправности; Sg - неисправность локализована, ремонтируется; Sg - ремонт закончен, подготавливается к включению для работы.
Все потоки событий, переводящие счетчик из состояния в состояние - простейшие. Наблюдения за работой счетчика показали, что среднее время неисправности безотказной его работы (подряд) равно 20 суткам, неисправная работа продолжается в среднем 15 минут, в неисправном отключенном состоянии счетчик находится в среднем 1 сутки, поиск неисправности счетчика длится в среднем 1 час, его ремонт занимает в среднем 8 часов, и, наконец, подготовка счетчика к включению для работы укладывается в среднем в 20 минут.
Найти финальные вероятности счетчика и прокомментировать полученные результаты.
Замечание 13.2. В качестве образца выполнения этого задания можно взять пример 13.1.
Ответы к заданиям §13
13.1. р, =0,935; 0.035; Рз =0,023; р =0,007.
13.2. Р, =0,93461; Pj =0.00049; Рз =0,04673; Р4 =0,00195; Ps =0,01557; р =0,00065.