назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [ 61 ] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


61

фициентом пропорциональности

, следовательно,

р,:р2:...:р„=7;:Г2:...:7;,

т.е. финальные вероятности состояний системы, в которой протекает циклический процесс, относятся как средние времена пребывания системы подряд в каждом из состояний.

Пример 13.1. Электронный банкомат в операционном зале банка может находиться в одном из следующих состояний: Sj - исправен, работает;

«2 - неисправен, отключен, ведется поиск неисправности;

Sg - причина неисправности найдена, ремонтируется;

s - ремонт закончен, подготавливается к включению.

Предполагается, что все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, - простейшие. Среднее время безотказной работы банкомата (подряд) равно 6,5 суток. Поиск неисправности банкомата длится в среднем 45 мин. После обнаружения неисправности на ремонт банкомата уходит

рывная случайная величина, представляющая собой промежуток времени между соседними событиями в потоке П., в течение которого система 5 находится в состоянии s.. Так как процесс, протекающий в системе S, - однородный марковский, то (см. § 5) поток - простейший, а потому (см. (5.15))

A,w=(7;)"\ i = l,...,n. (13.5)

где %- математическое ожидание М[7].] случайной величины 7], представляющее собой среднее время пребывания системы 5 (подряд) в состоянии s.. Подставляя (13.5) в (13.2), получим (13.4). "

Формула (13.4) позволяет трактовать финальную вероятность как долю среднего времени пребывания системы 5 в состоянии s. Другими словами, финальные вероятности прямо пропорциональны средним временам 7 с коэф-



В среднем 4 часа. После окончания ремонта банкомат подготавливают к включению для работы в среднем в течение 1 часа. Найдем финальные вероятности состояний банкомата.

В качестве системы 5 рассмотрим исследуемый банкомат. Поскольку все потоки событий, переводящие систему 5 из состояния в состояние, простейщие, то в системе 5 протекает однородный марковский процесс. Из графа состояний системы 5, который изображен на рис. 13.3, видно, что данный процесс является циклическим.

S, -> «2

Я23=(72)

Яз4=(Гз)

Средние времена 7j, 7, 7 и 7 пребывания системы 5соответственно в состояниях Sj, s3 и s представляют собой средние времена соответственно безотказной работы, поиска неисправности, ремонта и подготовки к включению банкомата, т.е. Т; =6,5 (суток); fj =45 (минут)=0,03125 (суток); Гз =4 (часа) = 0,16667 (суток); =1 (час) = 0,04167 (суток).

Имеем

= (6,5+0,03125+0,16667+ 0,04167)- = 0,14838.

Тогда по формулам (13.4) при и=4

= 6,5 0,14838 = 0,96447;

ft =0,03125 0,14838 = 0,00464; ft =0,16667 0,14838 = 0,024672; ft =0,04167 0,14838=0,00617.

7 - 2246



Краткие выводы

• Состояния системы, в которой протекает циклический процесс, связаны между собой переходами системы в цикл (кольцо) в одну сторону без перескоков.

• Циклический процесс отличается от процесса гибели и размножения. Исключение составляет циклический процесс, протекающий в системе, имеющей два состояния; в этом случае циклический процесс является также и процессом гибели и размножения.

• Для циклического процесса существуют финальные вероятности.

• Если для циклического процесса известны плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние (которые совпадают с интенсивностями простейших потоков, порождающих эти переходы), то финальные вероятности вычисляются по формуле (13.2).

• Если известны средние времена пребывания системы (подряд) в каждом состоянии, то финальные вероятности можно вычислять по формуле (13.4).

• Финальную вероятность состояния можно интерпретировать как долю среднего времени пребывания системы в этом состоянии.

Таким образом, в установившемся финальном стационарном режиме банкомат будет работать исправно с вероятностью ;?,=0,96447, близкой к единице. Банкомат хорошего качества.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [ 61 ] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]