фициентом пропорциональности
, следовательно,
р,:р2:...:р„=7;:Г2:...:7;,
т.е. финальные вероятности состояний системы, в которой протекает циклический процесс, относятся как средние времена пребывания системы подряд в каждом из состояний.
Пример 13.1. Электронный банкомат в операционном зале банка может находиться в одном из следующих состояний: Sj - исправен, работает;
«2 - неисправен, отключен, ведется поиск неисправности;
Sg - причина неисправности найдена, ремонтируется;
s - ремонт закончен, подготавливается к включению.
Предполагается, что все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, - простейшие. Среднее время безотказной работы банкомата (подряд) равно 6,5 суток. Поиск неисправности банкомата длится в среднем 45 мин. После обнаружения неисправности на ремонт банкомата уходит
рывная случайная величина, представляющая собой промежуток времени между соседними событиями в потоке П., в течение которого система 5 находится в состоянии s.. Так как процесс, протекающий в системе S, - однородный марковский, то (см. § 5) поток - простейший, а потому (см. (5.15))
A,w=(7;)"\ i = l,...,n. (13.5)
где %- математическое ожидание М[7].] случайной величины 7], представляющее собой среднее время пребывания системы 5 (подряд) в состоянии s.. Подставляя (13.5) в (13.2), получим (13.4). "
Формула (13.4) позволяет трактовать финальную вероятность как долю среднего времени пребывания системы 5 в состоянии s. Другими словами, финальные вероятности прямо пропорциональны средним временам 7 с коэф-
В среднем 4 часа. После окончания ремонта банкомат подготавливают к включению для работы в среднем в течение 1 часа. Найдем финальные вероятности состояний банкомата.
В качестве системы 5 рассмотрим исследуемый банкомат. Поскольку все потоки событий, переводящие систему 5 из состояния в состояние, простейщие, то в системе 5 протекает однородный марковский процесс. Из графа состояний системы 5, который изображен на рис. 13.3, видно, что данный процесс является циклическим.
S, -> «2
Я23=(72)
Яз4=(Гз)
Средние времена 7j, 7, 7 и 7 пребывания системы 5соответственно в состояниях Sj, s3 и s представляют собой средние времена соответственно безотказной работы, поиска неисправности, ремонта и подготовки к включению банкомата, т.е. Т; =6,5 (суток); fj =45 (минут)=0,03125 (суток); Гз =4 (часа) = 0,16667 (суток); =1 (час) = 0,04167 (суток).
Имеем
= (6,5+0,03125+0,16667+ 0,04167)- = 0,14838.
Тогда по формулам (13.4) при и=4
= 6,5 0,14838 = 0,96447;
ft =0,03125 0,14838 = 0,00464; ft =0,16667 0,14838 = 0,024672; ft =0,04167 0,14838=0,00617.
7 - 2246
Краткие выводы
• Состояния системы, в которой протекает циклический процесс, связаны между собой переходами системы в цикл (кольцо) в одну сторону без перескоков.
• Циклический процесс отличается от процесса гибели и размножения. Исключение составляет циклический процесс, протекающий в системе, имеющей два состояния; в этом случае циклический процесс является также и процессом гибели и размножения.
• Для циклического процесса существуют финальные вероятности.
• Если для циклического процесса известны плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние (которые совпадают с интенсивностями простейших потоков, порождающих эти переходы), то финальные вероятности вычисляются по формуле (13.2).
• Если известны средние времена пребывания системы (подряд) в каждом состоянии, то финальные вероятности можно вычислять по формуле (13.4).
• Финальную вероятность состояния можно интерпретировать как долю среднего времени пребывания системы в этом состоянии.
Таким образом, в установившемся финальном стационарном режиме банкомат будет работать исправно с вероятностью ;?,=0,96447, близкой к единице. Банкомат хорошего качества.