назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


60

Коэффициенты в системе (13.1) постоянные или зависят от времени t, смотря по тому, однородный или нет протекающий процесс. Система (13.1) решается при начальном распределении вероятностей р,(0),р„(0), сумма которых равна 1.

Как видно из графа (см. рис. 13.1), система 5, в которой протекает циклический процесс, эргодична. Поэтому на основании теоремы 10.1 для циклического однородного марковского процесса с непрерывным временем существуют финальные вероятности. Формулы вычисления этих финальных вероятностей даются в следующей теореме.

Теорема 13.1. Финальные вероятностир, ...,р состояний системы S, в которой протекает циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, о вычислить по следующим формулам:

t,t+Г

(=1 1,1+1

k = i,2,...,n,

(13.2)

где Я„„,=Я„,.

Доказательство: Составим по одному из трех правил, сформулированных в § 10, систему линейных алгебраических уравнений, которой удовлетворяют предельные вероятности p,р,

-Лм+л+t-ut-l=o. *=2,...,и-1,

-Л„,Р„ + Я„.,,р„.,=0. Матрица коэффициентов этой системы имеет вид

• Л.-2,п-1

-Л1-1Л

Л>-1л



Проведем следующие элементарные преобразования строк: 2-ю строку прибавим к 3-й; полученную 3-ю строку прибавим к 4-й и т.д.; полученную (и-2)-ю строку прибавим к (и-1 )-й; и, наконец, полученную (и-1 )-ю строку прибавим к и-й. В результате получим матрицу

.. 0

.. 0

.. 0

.. 0

.. 0

~K-\f,

0 .

.. 0

Первая и последняя строки полученной матрицы пропорциональны и потому одну из них, например первую, можно удалить. В результате получим матрицу

0 .

. 0

0 .

. 0

. 0

0 .

. 0

~К,-1.л

. 0

Система уравнений, соответствующая этой матрице, будет иметь вид

Я,2Р,-Я 232=0; Я,2А-Яз4Рз=0;

Я12А-Ял5Р4=0;

Я,2А-Я„.,,„Р„ ,=0; Я,2Й-Я„,р„=0.



fl3. цишшчсскт процессы

Из (A-l)-ro уравнения этой системы, к=2,п, можно выразить через;?,:

Pi=~-Pi, k = 2.....и, (13.3)

где А„„,=Я„,. Подставляя эти выражения в нормировочное условие (11.7), получим

откуда

( - . V

A.2lj

1=1 i.i+i

Подставляя это выражение;?, в равенства (13.3), получим доказываемые формулы (13.2).

В формулах (13.2) финальные вероятности выражены через плотности вероятностей переходаЯ., но их можно выразить и через средние времена 7] пребывания системы 5 (подряд) в г-м состоянии s. (i=l.....и).

Теорема 13.2. Финальные вероятности р.....р состояний системы S, в которой протекает циклический однородный марковский процесс с непрерывньш временем, выражаются через средние времена пребывания системы (подряд) в состоянии s. следующим образом:

А = 1....,и. (13.4)

Доказательство: Рассмотрим «поток уходов» П системы 5 из состояния S.. Если система 5 находится в состоянии то при появлении первого после настоящего момента времени события потока П система мгновенно перескакивает в состояние s., (если г=п, то в силу цикличности процесса мы полагаем, что s+,=s,) (см. рис. 13.1). Пусть Г непре-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]