назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


6

I 2. Дискретный маркоескин процесс с дискретным временем. Марковская однородн;

Очевидно, что реализацию дискретного случайного процесса с дискретным временем за любой (конечный) промежуток времени можно представить неслучайной конечной последовательностью по индексу k рассматриваемых событий S,{k) (i=l,п; k=i, 2,...).

Пример 2.1. Предположим, что наблюдение за системой S с 1-го до 6-го шага показали, что она с 1-го до 2-го шага находилась в состоянии со 2-го до 3-го шага - в состоянии s, с 3-го до 4-го шага - в состоянии s, с 4-го до 5-го шага оставалась в состоянии s, с 5-го до 6-го шага находилась в состоянии Sj. Тогда реализацию процесса с 1-го до 6-го шага можно представить следующей уже неслучайной цепью событий: 5,(1), 5Д2), 5(3), 5(4), 55(5).

Основными характеристиками марковских цепей являются вероятности р. (fe) = р{5.{к)) (i=l,п; fe=l, 2,...) событий 5 (fe).

Определение 2.4. Вероятности(fe) (t=l,я; fe=l, 2,...) называются вероятностями состояний.

Таким образом, вероятность i-ro состояния на fe-м шаге р. (fe) есть вероятность того, что система 5 от fe-ro до (fe+l)-ro шага будет пребывать в состоянии S..

Так как для каждого шага fe=l, 2,... события 5,(fe),.... Sj(k) несовместны и образуют полную группу, то, как известно из теории вероятностей, сумма вероятностей этих событий для каждого fe=l, 2,... равна 1:

±pXk)=l, k=l,2,... . (2.1)

Для вычисления вероятностей состояний p.(fe) вводят в рассмотрение переходные вероятности, определяемые следующим образом.

Определение 2.5. Переходной вероятностью p.(fe) из t-ro в j-e состояние для k-ro шага (i=l.....п; j=i,п;



Вероятностное моделирование в финансово-экономической областн

2,...) называется вероятность непосредственного перехода системы S в момент из состояния s. в состояние S..

Если i=j, то переходная вероятность p.j {k)=p.. (k) называется вероятностью задержки системы S в состояние s..

Если на -ом шаге непосредственный переход системы из состояния S. в другое состояние s. (i j) невозможен или невозможна задержка (г =j) в i-м состоянии, тор..{к)=0.

Определение 2.6. Если переходные вероятности не зависят от шагов к, то марковская цепь называется одно юдной.

В этом случае переходные вероятности будем обозначать через p.j вместо p.j (к).

Если же хотя бы одна вероятность изменяется с изменением шага к, то марковскую цепь называют неоднородной.

В этой главе мы рассмотрим однородные марковские цепи. Запишем переходные вероятности в виде квадратной матрицы и-го порядка

P21 - Рг.

Матрица Р не зависит от номера шага k; ее порядок п совпадает с числом состояний системы; на главной диагонали расположены вероятности задержек.

Переходную вероятность р.. можно интерпретировать как условную вероятность р.. =piS.(k}\S.(k-i)) события S-iky (с й-го до (fe -I-1) -го шага система S находится в состоянии sp при условии, что имело место событие 5.(-1) (с (fe-l)-ro до к-то шага система S находилась в состоянии s). Следовательно, учитывая, что события S(k), SJiJi) несовместны и образуют полную группу, будем иметь:

ЪРу= « = !....,". (2.2)

>=1



S 2. Дискретный марковский процесс с дискретным временем. Марковская однородн;

т.е. сумма элементов каждой строки матрицы Р переходных вероятностей равна 1.

Определение 2.7. Матрица, каждый элемент которой неотрицателен, а сумма элементов каждой строки равна единице, называется стохастической.

Из этого определения следует, что каждый элемент стохастической матрицы не больше 1. Таким образом, матрица переходных вероятностей является стохастической.

Если стохастическая матрица обладает еще и тем свойством, что сумма элементов каждого ее столбца равна 1, то она называется двожостохастической.

Определение 2.8. Граф состояний, у стрелок которого указаны переходные вероятности, называется размеченным.

Пример 2.2. На рис. 2.1 изображен размеченный граф.

Рис. 2.1

Наличие на размеченном графе стрелок и соответствующих им переходных вероятностей из одного состояния в другое означает, что эти переходные вероятности отличны от нуля. Напротив, отсутствие стрелок из одного состояния в другое говорит о том, что соответствующие им переходные вероятности равны нулю. Например, на изображенном на рис 2.1 графе состояний р, Р2Г-

Переходные вероятности, соответствующие стрелкам, исходящим из состояния S. (г=1,и), расположены в г-й

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]