Задание к §12
12.1. Решить задачу, поставленную в примере 12.1, если в его условиях заменить: три компьютера на четыре, среднее время безотказной работы компьютера 7 =120 часов на 100 часов, среднее время восстановления компьютера 7 =6 часов на 5 часов, и если эффективность работы группы финансово-экономической информации при четырех работающих компьютерах равна 100%, при трех - 70%, при двух - 50%, при одном - 30%, при отсутствии компьютеров - 15%.
Ответы к заданию §12
12.1. Финальные вероятности
=0,822702; р, -0,164540; р =0,012340; Рз = 0,000412; Pi = 0,000006.
Средняя эффективность работы группы финансово-экономической информации в установившемся финальном стационарном режиме работы компьютеров равна 94,41745%.
§13
Циклические процессы
Основная цель настоящего параграфа - обсудить понятие циклического процесса и вывести формулы для вычисления финальных вероятностей через плотности вероятностей перехода и через средние времена пребывания системы в своих состояниях.
Определение 13.1. Марковский процесс, протекающий в системе Sen состояниями, называется циклическим, если граф состояний системы S имеет вид, изображенный на рис 13.1.
А,з А,
Таким образом, состояния системы, в которой протекает циклический процесс, связаны между собой в цикл (кольцо) в одну сторону без перескоков. Очевидно, что процесс с графом состояний на рис. 13.1, но со стрелками в противоположную сторону, также является циклическим. Матрица плотностей вероятностей переходов системы, в кото-
рой протекает циклический процесс и граф состояний которой изображен на рис. 13.1, имеет вид:
I 1 2 3...fe-lUU+l ...n-2n-l п
Столбцы
Строки
0 0 | ... 0 | | | • 0 | | 0 | |
0 0 Дз | - 0 | | | •• 0 | | | |
| ... 0 | | | •• 0 | | | |
| - 0 А, ,,. | | | | | k-S. |
| •• 0 | | | •• 0 | | | |
| ... 0 | | | •• 0 | | | |
| •• 0 | | 0 | •• 0 | Я„-2,п 1 | | |
| •• 0 | | 0 • | •• 0 | | | |
к 0 0 | | | | •• 0 | | | |
Циклический процесс, вообще говоря, не является процессом гибели и размножения. Однако в случае, когда система 5 имеет только два состояния (и=2), циклический процесс и процесс гибели и размножения - одно и то же (см. рис. 13.2).
Для вероятностей состоянийр,(0,2(0. -.рДО.....P„-i(0.
pjif) системы 5, в которой протекает циклический процесс, можно по одному из двух правил, данных в § 4, составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова, которая для данного процесса будет иметь следующий вид:
р;(0=-я,2р.(0+я„,р„(0. р:(0=-Я....а(0+Я. ,,л..(0, А = 2,...,п-1,
р:(0=-я„,р„(0+я„ ,„р„ ,(0.
(13.1)