, k=0,i.....и, (12.1)
. n(n-i):..[n-(k-i)] „\
С„ =---= --- - число сочетании
ft! k\(n-k)l
из п элементов по к.
Доказательство: Так как поток отказов узлов простейший, то непрерывная случайная величина Т, представляющая собой промежуток времени между любыми двумя соседними отказами в этом потоке, т.е. время безотказной работы узла, распределена по показательному закону (см. формулу (5.14) и Определение 5.12) с параметром А, который, с одной стороны, совпадает с интенсивностью потока отка-
Переходы системы 5 из состояния в состояние по стрелкам слева направо происходят под воздействием потоков отказов, а в обратном направленрш - под воздействием потоков восстановлений. Поскольку эти потоки простейшие, то в системе S протекает однородный дискретный марковский процесс с непрерывным временем. Поэтому из графа (рис. 12.1) заключаем, что этот процесс является процессом гибели и размножения. При этом «размножение» и «гибель» в данном случае трактуются как соответственно увеличение и уменьшение числа отказавших узлов.
Финальные вероятности р.р,, ...,р состояний системы S выражаются по формулам (11.11), (11.12) через плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние. Но иногда средние времена безотказной работы 7 и процесса восстановления т; узла практически подсчитать легче, чем плотности вероятностей переходов. Поэтому возникает задача выражения финальных вероятностей через средние времена 7 и Г,. Решение этой задачи дается в следующей теореме.
Теорема 12.1. Для финальных вероятностей р, й"0,1,.... п справедливы следующее формулы
ЗОВ, а с другой - равен обратной величине математического ожидания ЩТ\ (см. (5.15)): А = (М[Г])~. Но математическое ожидание ЩТ] как раз и есть среднее время безотказной работы узла Tg. Итак, А = (7) .
Если система S находится в состоянии s, то функционируют все п узлов, на каждый из которых действует простейший поток отказов с интенсивностью А=(7) . Следовательно, на систему 5 в состоянии действует в целом суммарный поток отказов с суммарной интенсивностью
nX = n[Tg) .которая равна плотности вероятности перехода Ад, системы S из состо5шия в состояние s,: Ац, = и(7 ) .
В состоянии S, функционируют и-1 узлов,и потому из этого состояния в состояние систему S переводит суммарный поток отказов с суммарной интенсивностью
(и-1)А=(и-1)(7;)-. Следовательно, A,2=(n-l)(fj)-. Аналогично рассуждая, получим
Ям,,=[и-(г-1)](Г,)-, i=l.....п. (12.2)
Так как поток восстановлений простейший, то интенсивность этого потока равна обратной величине среднего
времени процесса восстановления (Т) . Если система S пребывает в состоянии s, то функционирующих узлов нет и на каждый из них действует поток восстановлений. Тогда на систему S в состоянии действует в целом суммарный поток восстановлений с суммарной интенсивностью
и(7) , порождающий переход системы S в состояние ,.
Таким образом, А„, , =и(7) .
Аналогичным образом для плотностей вероятностей переходов системы S по стрелкам справа налево получим следующее выражение
A,jj=i(7l), i=l,...,n. Ml \.f j2.3)
Найдем по формуле (11.12) выражение через средние
времена безотказной работы узла Tg и восстановления Т,,
для чего в (11.12) подставим (12.2) и (12.3):
«1 =
Кт,Г{к-1){т,г.....(ту
n{n-i):..[n-(k-i)]
k(k-iy...i
k = i,...,n.
Подставляя эти выражения ав(11.11)и применяя формулу бинома Ньютона, получим доказываемую формулу (12.1).
Пример 12.1. В группе финансово-экономической информации финансовой компании используется три компьютера, каждый из которых независимо от других может выходить из строя. Поток отказов компьютера - простейший. Среднее время безотказной работы компьютера 7" = 120 часов. Вышедший из строя компьютер немедленно начинает
«Биномом Ньютона» называют формулу, дающую выражение (а+Ьу при натуральном п в виде многочлена:
{a + bj =fCa"-%.
"-о
в данном случае мы применяем бином Ньютона при а= 1 и й = .
Отметим, что исторически сложившееся название «Бином Ньютона» представляется дважды неправильным, т.к., во-первых, (а+Ь)" не является биномом («бином» означает «двучлен»), а во-вторых, эта формула для натуральных п была известна и до Ньютона. Ньютону принадлежит смелая и необычайно плодотворная мысль распространить это разложение на случай отрицательных и дробных п (см., например, [4], [10]).
Ньютон Исаак (1643-1727) - великий английский математик, физик, механик, астроном, основоположник современной механики, создатель математики непрерывных процессов, член Лондонского Королевского общества (с 1672 г.), его президент (с 1703 г), в 1669-1701 гг. преподавал в Кембриджском университете, в 1695-1698 гг. - смотритель, с 1699 г. - директор Лондонского монетного двора, член Английского Парламента, Иностранный член Парижской АН (с 1699 г.); открыл закон всемирного тяготения, создал теоретические основания механики и астрономии, разработал (одновременно с Г.В. Лейбницем) дифференциальное и интегральное исчисление, получил фундаментальные результаты в теоретической и экспериментальной оптике, геометрии и алгебре.