§11. процесс гибели и размноженил
Пример 11.1. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 руб. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну такую акцию, нас будут интересовать следующие ее пять состояний, характеризующихся рыночной ценой акции:
S, - от 1000 до 1200 руб.;
Sj - от 1200 до 1400 руб.;
s3 - от 1400 до 1600 руб.;
S, - от 1600 до 1800 руб.;
Sj - от 1800 до 2000 руб. включительно.
Замечено, что рыночная цена в будущем зависит в основном от ее цены в текущий момент времени.
В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени, при этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 руб. Переходы системы 5 из одного состояния в другое происходят со следующими плотностями вероятностей переходов, пренебрежимо мало изменяющимися с течение времени:
2 О О 01
0 4 0 0
10 3 0
16 0 5
0 0 8 0
Требуется спрогнозировать рыночную цену акции на будущее. Стошг ли приобретать акции по цене 1700 руб.?
Так как система S может находиться только в одном из отмеченных пяти состояний, то процесс, протекающий в системе S, - дискретный.
Поскольку цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в настоящем, то данный процесс будет марковским.
В силу того, что изменение цены акции может происходить в любой случайный момент времени, то процесс в системе S является процессом с непрерывным временем.
Вероятностж
t ш финансово-жоиомической области
Так как абсолютное изменение цены акции не превышает 200 руб., то это означает, что система S может перейти только в соседнее состояние, т.е. перескоков бьггь не может.
И, наконец, поскольку плотности вероятностей переходов можно считать постоянными, то процесс однороден.
Итак, в системе S протекает однородный марковский дискретный процесс с непрерывным временем.
По данной матрице Л построим размеченный граф состояний.
| | | Я«=4 | | | | | |
| | | -► <- | | -► -<- | | -► | |
| А„=3 | | А«=1 | | А„=6 | | | |
По этому графу видно (это можно было увидеть и по матрице Л), что данный процесс является процессом гибели и размножения. Финальные вероятности р,, р, Ру р, р существуют. Найдем их по формуле (11.2) при п=5. Для этого сначала по формуле (11.3) подсчитаем числа а, а, а, а.
3 Agj-JCj, 1-3 3 дЯ,2-Д-Яз,2-4-34.
KzKii 61-3 3
д 2"" 45 2-4-3-5 5 Я54 - 21 8-6-1-3 6
Тогда по формуле в первой строке (11.2)
По формулам во второй строке (11.2) 2 2 4
1+2ЛД4
3 3 3 6
2 13
8 2 16
§11. Процесс гм6«дн и рииножтм
4 2 8 5 2 5
= 3 13 = 39= =i 13 = 39-
Таким образом, вероятнее всего (рд=16/39>/>;, i=l, 2,4,5) система S будет находиться в состоянии Sy т.е. цена акции будет находиться в пределах от 1400 до 1600 руб. Поэтому покупать эти акции по цене 1700 руб. не стоит.
Краткие выводы
• Процесс гибели и размножения определяется как марковский однородный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе S, граф конечного числа состояний которой имеет структуру, приведенную на рис. 11,1.
• Для процесса гибели и размножения существуют финальные вероятности, которые можно найти из формул (11.2) или (11.1).
Ключевые слова и выражения
Марковский процесс с конечным числом состояний; процесс гибели и размножения; процесс гибели и размножения с непрерывным временем; финальные вероятности состояний системы, в которой протекает процесс гибели и размножения; главная диагональ матрицы; наддиагональ матрицы; поддиагональ матрицы.