назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [ 55 ] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


55

§11. процесс гибели и размноженил

Пример 11.1. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 руб. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну такую акцию, нас будут интересовать следующие ее пять состояний, характеризующихся рыночной ценой акции:

S, - от 1000 до 1200 руб.;

Sj - от 1200 до 1400 руб.;

s3 - от 1400 до 1600 руб.;

S, - от 1600 до 1800 руб.;

Sj - от 1800 до 2000 руб. включительно.

Замечено, что рыночная цена в будущем зависит в основном от ее цены в текущий момент времени.

В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени, при этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 руб. Переходы системы 5 из одного состояния в другое происходят со следующими плотностями вероятностей переходов, пренебрежимо мало изменяющимися с течение времени:

2 О О 01

0 4 0 0

10 3 0

16 0 5

0 0 8 0

Требуется спрогнозировать рыночную цену акции на будущее. Стошг ли приобретать акции по цене 1700 руб.?

Так как система S может находиться только в одном из отмеченных пяти состояний, то процесс, протекающий в системе S, - дискретный.

Поскольку цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в настоящем, то данный процесс будет марковским.

В силу того, что изменение цены акции может происходить в любой случайный момент времени, то процесс в системе S является процессом с непрерывным временем.



Вероятностж

t ш финансово-жоиомической области

Так как абсолютное изменение цены акции не превышает 200 руб., то это означает, что система S может перейти только в соседнее состояние, т.е. перескоков бьггь не может.

И, наконец, поскольку плотности вероятностей переходов можно считать постоянными, то процесс однороден.

Итак, в системе S протекает однородный марковский дискретный процесс с непрерывным временем.

По данной матрице Л построим размеченный граф состояний.

Я«=4

-►

<-

-►

-<-

-►

А„=3

А«=1

А„=6

По этому графу видно (это можно было увидеть и по матрице Л), что данный процесс является процессом гибели и размножения. Финальные вероятности р,, р, Ру р, р существуют. Найдем их по формуле (11.2) при п=5. Для этого сначала по формуле (11.3) подсчитаем числа а, а, а, а.

3 Agj-JCj, 1-3 3 дЯ,2-Д-Яз,2-4-34.

KzKii 61-3 3

д 2"" 45 2-4-3-5 5 Я54 - 21 8-6-1-3 6

Тогда по формуле в первой строке (11.2)

По формулам во второй строке (11.2) 2 2 4

1+2ЛД4

3 3 3 6

2 13

8 2 16



§11. Процесс гм6«дн и рииножтм

4 2 8 5 2 5

= 3 13 = 39= =i 13 = 39-

Таким образом, вероятнее всего (рд=16/39>/>;, i=l, 2,4,5) система S будет находиться в состоянии Sy т.е. цена акции будет находиться в пределах от 1400 до 1600 руб. Поэтому покупать эти акции по цене 1700 руб. не стоит.

Краткие выводы

• Процесс гибели и размножения определяется как марковский однородный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе S, граф конечного числа состояний которой имеет структуру, приведенную на рис. 11,1.

• Для процесса гибели и размножения существуют финальные вероятности, которые можно найти из формул (11.2) или (11.1).

Ключевые слова и выражения

Марковский процесс с конечным числом состояний; процесс гибели и размножения; процесс гибели и размножения с непрерывным временем; финальные вероятности состояний системы, в которой протекает процесс гибели и размножения; главная диагональ матрицы; наддиагональ матрицы; поддиагональ матрицы.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [ 55 ] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]