назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


54

Вероятностное модслн

рованне

фннансово-экононнческой областн

-А,2Р,+А2,Р2=0,

-<tji+tMi)Pt+t-u.Pt-A+k.ij,Pk.i= k = 2,...,n-\, (11.4)

(сравните с системой дифференциальных уравнений (11.1)).

Матрица коэффициентов системы (11.4) будет иметь следующий вид

-A,j Д,, о о ••• о о

А,, -Д,, Д,, о - о о

о о о о о о

KtiJ-г Л.-2л-3

Для упрощения вида этой матрицы проведем следующие элементарные преобразования ее строк: 1-ю строку прибавим ко 2-й; полученную 2-ю строку прибавим к 3-й; и т.д.; полученную (7г-1)-ю сроку прибавим к я-й строке. В результате получим матрицу

Столбцы 1

.. п-2

" 1

Строки

0 •

0 •

-Аз.

0 •

Amj2

0 •

0 •

(11.5)

последняя (п-я) строка которой - нулевая, и потому ее можно отбросить.

Таким образом, предельные вероятности состояний Pv Рп удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений, соответствующей матрице (11.5):



-А2з/2+Аз2Рз=0 -Аз4/з+А4з/4 =0.

-А п-г.п-1Рп-г + А „-1-.2Р„-1 = 0.

-А„-,,„Р„-,+А„.„ ,р„=0

(11.6)

и нормировочному условию

(11.7)

Из 1-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.3) при k=2

(11.8)

Из 2-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.8) и (11.3) при *=3

Рз=уА=«зА-

3221

(11.9)

Из 3-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.9) и (11.3) при А=4

и так далее

АдзАзгАг!

3 3 , -~„.- (1110)

п,n-l Ft-l,n-2 • • - 21

Таким образом, мы доказали справедливость формулы во второй строке (11.2). Для доказательства формулы в первой строке (11.2) подставим (11.8), (11.9), (11.10) в нормировочное условие (11.7)

A+«2/i+-"+«rA = l.

откуда получим требуемое равенство Pi -



Правая часть формулы (11.3) устроена следующим образом: в числителе стоит произведение плотностей вероятностей переходов А., начиная с А, и кончая А , , где второй индекс к множителя А , совпадает с индексом а, причем первый ршдекс каждого множителя А, начиная со второго А23, совпадает со вторым шщексом предыдущего множшге-ля; в знаменателе стошг произведение множителей А., получающееся из произведения в числителе, если в последнем у каждого множрггеля А поменять местами ршдексы: А,

В терминах матрицы плотностей вероятностей переходов Л правая часть формулы (11.3) представляет собой отнощение произведения элементов наддиагонали к произведению элементов поддиагонали квадратной матрщы к-то порядка, составленной из первых к строк и первых к столбцов матррщы Л.

В терминах размеченного графа состояний системы S (см. рис. 11.2) правая часть формулы (11.3) есть дробь, числитель которой представляет собой произведение всех плотностей вероятностей переходов по стрелкам слева направо, начиная с первого и кончая к-ы состоянием, а знаменатель суть произведение всех плотностей вероятностей обратных переходов по стрелкам справа налево с состояния до состояния S,.

В формулах (11.2) все финальные вероятности р, ...,р выражены через финальную вероятность р,. Можно было бы при рещении системы (11.6) выразтъ их через любую другую финальную вероятность.

Часто нумерацию состояний системы S начинают не с единицы, а с нуля: Sg, s,,s. В этом случае формулы (11.2) и (11.3) приобретают соответственно вид:

.A=«t7o. к = \,...,п,

Ао.-А,2---А, ,, f А*>-1 АЦ 2 • ~. • А,о

(11.11)

(11.12)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]