Вероятностное модслн
рованне
фннансово-экононнческой областн
-А,2Р,+А2,Р2=0,
-<tji+tMi)Pt+t-u.Pt-A+k.ij,Pk.i= k = 2,...,n-\, (11.4)
(сравните с системой дифференциальных уравнений (11.1)).
Матрица коэффициентов системы (11.4) будет иметь следующий вид
-A,j Д,, о о ••• о о
А,, -Д,, Д,, о - о о
о о о о о о
KtiJ-г Л.-2л-3
Для упрощения вида этой матрицы проведем следующие элементарные преобразования ее строк: 1-ю строку прибавим ко 2-й; полученную 2-ю строку прибавим к 3-й; и т.д.; полученную (7г-1)-ю сроку прибавим к я-й строке. В результате получим матрицу
Столбцы 1 | | | | .. п-2 | | " 1 |
Строки | | | | | | | |
| | | | 0 • | | | |
| | | | 0 • | | | |
| | | -Аз. | | | | |
| | | | 0 • | | Amj2 | |
| | | | 0 • | | | |
| | | | 0 • | | | |
(11.5)
последняя (п-я) строка которой - нулевая, и потому ее можно отбросить.
Таким образом, предельные вероятности состояний Pv Рп удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений, соответствующей матрице (11.5):
-А2з/2+Аз2Рз=0 -Аз4/з+А4з/4 =0.
-А п-г.п-1Рп-г + А „-1-.2Р„-1 = 0.
-А„-,,„Р„-,+А„.„ ,р„=0
(11.6)
и нормировочному условию
(11.7)
Из 1-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.3) при k=2
(11.8)
Из 2-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.8) и (11.3) при *=3
Рз=уА=«зА-
3221
(11.9)
Из 3-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.9) и (11.3) при А=4
и так далее
АдзАзгАг!
3 3 , -~„.- (1110)
п,n-l Ft-l,n-2 • • - 21
Таким образом, мы доказали справедливость формулы во второй строке (11.2). Для доказательства формулы в первой строке (11.2) подставим (11.8), (11.9), (11.10) в нормировочное условие (11.7)
A+«2/i+-"+«rA = l.
откуда получим требуемое равенство Pi -
Правая часть формулы (11.3) устроена следующим образом: в числителе стоит произведение плотностей вероятностей переходов А., начиная с А, и кончая А , , где второй индекс к множителя А , совпадает с индексом а, причем первый ршдекс каждого множителя А, начиная со второго А23, совпадает со вторым шщексом предыдущего множшге-ля; в знаменателе стошг произведение множителей А., получающееся из произведения в числителе, если в последнем у каждого множрггеля А поменять местами ршдексы: А,
В терминах матрицы плотностей вероятностей переходов Л правая часть формулы (11.3) представляет собой отнощение произведения элементов наддиагонали к произведению элементов поддиагонали квадратной матрщы к-то порядка, составленной из первых к строк и первых к столбцов матррщы Л.
В терминах размеченного графа состояний системы S (см. рис. 11.2) правая часть формулы (11.3) есть дробь, числитель которой представляет собой произведение всех плотностей вероятностей переходов по стрелкам слева направо, начиная с первого и кончая к-ы состоянием, а знаменатель суть произведение всех плотностей вероятностей обратных переходов по стрелкам справа налево с состояния до состояния S,.
В формулах (11.2) все финальные вероятности р, ...,р выражены через финальную вероятность р,. Можно было бы при рещении системы (11.6) выразтъ их через любую другую финальную вероятность.
Часто нумерацию состояний системы S начинают не с единицы, а с нуля: Sg, s,,s. В этом случае формулы (11.2) и (11.3) приобретают соответственно вид:
.A=«t7o. к = \,...,п,
Ао.-А,2---А, ,, f А*>-1 АЦ 2 • ~. • А,о
(11.11)
(11.12)