§11
Процесс гибели и размножения
Здесь мы изучим некоторую схему марковских процессов с непрерывным временем, называемую процессом гибели и размножения и играющую базовую роль в теории массового обслуживания.
Определение 11.1. Марковский процесс, протекающий в системе 5 с конечным числом состояний, называется процессом гибели и размножения, если граф ее состояний имеет структуру, представленную на рис 11.1.
Характеристический признак этого графа состоит в том,
что каждое из состояний s,s.....связано стрелками
переходов в обе стороны с каждым из своих соседних состояний слева и справа, а первое и последнее состояния s, и связаны стрелками в обе стороны только с одним своим соседним состоянием: соответственно с s, и s ,. Таким
£ л-1
образом, система 5, в которой протекает процесс гибели и размножения, может из любого своего состояния непосредственно перейти только в одно из его соседних состояний.
При этом под «размножением» будем понимать процесс по стрелкам слева направо, а под «гибелью» - процесс по стрелкам справа налево.
Название «процесс гибели и размножения» восходит к математическому моделированию в биологических задачах о численности популяций, распространении эпидемий и др.
Рассмотрим процесс гибели и размножения с непрерывным временем и с размеченным графом состояний на рис. 11.2.
| | | | А*-1.* | | | и-2.1.-1 | А..... | |
| | | | | | -4- • | • • -4- | | | |
| | | | ».» 1 | | | 11-1,в-2 | | |
Матрица плотностей вероятностей переходов процесса гибели и размножения имеет вид:
Поддиагональ Диагональ Наддиагональ (главная)
Для вероятностей состоянийр,(),Р2().....рр).....р„ ,(0>
рр) можно по одному из двух правил, приведенных в § 4, составить систему дифференциальных уравнений Колмого-
§11. Процесс гнбеян н размножения
рова, которая для данного случая будет выглядеть следующим образом:
р;(0=-А,2а(0+Я2,Р2(0, р.(0 = -(Я.,,+А„„)а(0+Я. ,,р.,.(0+
+А.,,л,,(0. * = 2.....
р:(0=-А„,„ ,р,(0+А„,,,„р„.,(0.
(11.1)
Если марковский процесс однороден (т.е. пуассоновские потоки стационарны), то плотности вероятностей переходов (интенсивности потоков) Я в системе (11.1) не зависят от времени t; в противном случае Я . представляют собой некоторые функции времени: k=XJit).
Система (11.1) решается при начальном распределении вероятностей р,(0), р„(0), удовлетворяющих нормировочному условию р,(0)+...-1-р(0)=1. Решение системы (11.1) также должно удовлетворять нормировочному условию p(t)+...+pJJ:)\ в любой момент времени t.
Из графа состояний однородного процесса гибели и размножения (см. рис. 11.1) непосредственно усматривается эргодичность системы 5. Поэтому из марковости процесса, по теореме 10.1, вытекает существование финальных вероятностей состояний p,.... р.
Теорема 11.1. Финальные вероятностир, ...,р процесса гибели и размножения с непрерывным временем можно вычислить по следующим формулам:
«1 =
k = 2,...,n, Ai2-A23-...-A n
kjr-l - A21
, k = 2,...,n.
(11.2)
(11.3)
Доказательство: Составим по одному из трех правил, данных в §10, систему линейных алгебраических уравнений: