назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


53

§11

Процесс гибели и размножения

Здесь мы изучим некоторую схему марковских процессов с непрерывным временем, называемую процессом гибели и размножения и играющую базовую роль в теории массового обслуживания.

Определение 11.1. Марковский процесс, протекающий в системе 5 с конечным числом состояний, называется процессом гибели и размножения, если граф ее состояний имеет структуру, представленную на рис 11.1.

---►

•-►

«1

••4-

Л---

•4-

Характеристический признак этого графа состоит в том,

что каждое из состояний s,s.....связано стрелками

переходов в обе стороны с каждым из своих соседних состояний слева и справа, а первое и последнее состояния s, и связаны стрелками в обе стороны только с одним своим соседним состоянием: соответственно с s, и s ,. Таким

£ л-1

образом, система 5, в которой протекает процесс гибели и размножения, может из любого своего состояния непосредственно перейти только в одно из его соседних состояний.



При этом под «размножением» будем понимать процесс по стрелкам слева направо, а под «гибелью» - процесс по стрелкам справа налево.

Название «процесс гибели и размножения» восходит к математическому моделированию в биологических задачах о численности популяций, распространении эпидемий и др.

Рассмотрим процесс гибели и размножения с непрерывным временем и с размеченным графом состояний на рис. 11.2.

А*-1.*

и-2.1.-1

А.....

-4- •

• • -4-

».» 1

11-1,в-2

Матрица плотностей вероятностей переходов процесса гибели и размножения имеет вид:

Столбцы/

Поддиагональ Диагональ Наддиагональ (главная)

Для вероятностей состоянийр,(),Р2().....рр).....р„ ,(0>

рр) можно по одному из двух правил, приведенных в § 4, составить систему дифференциальных уравнений Колмого-



§11. Процесс гнбеян н размножения

рова, которая для данного случая будет выглядеть следующим образом:

р;(0=-А,2а(0+Я2,Р2(0, р.(0 = -(Я.,,+А„„)а(0+Я. ,,р.,.(0+

+А.,,л,,(0. * = 2.....

р:(0=-А„,„ ,р,(0+А„,,,„р„.,(0.

(11.1)

Если марковский процесс однороден (т.е. пуассоновские потоки стационарны), то плотности вероятностей переходов (интенсивности потоков) Я в системе (11.1) не зависят от времени t; в противном случае Я . представляют собой некоторые функции времени: k=XJit).

Система (11.1) решается при начальном распределении вероятностей р,(0), р„(0), удовлетворяющих нормировочному условию р,(0)+...-1-р(0)=1. Решение системы (11.1) также должно удовлетворять нормировочному условию p(t)+...+pJJ:)\ в любой момент времени t.

Из графа состояний однородного процесса гибели и размножения (см. рис. 11.1) непосредственно усматривается эргодичность системы 5. Поэтому из марковости процесса, по теореме 10.1, вытекает существование финальных вероятностей состояний p,.... р.

Теорема 11.1. Финальные вероятностир, ...,р процесса гибели и размножения с непрерывным временем можно вычислить по следующим формулам:

«1 =

k = 2,...,n, Ai2-A23-...-A n

kjr-l - A21

, k = 2,...,n.

(11.2)

(11.3)

Доказательство: Составим по одному из трех правил, данных в §10, систему линейных алгебраических уравнений:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]