Рассматривая в качестве системы S одну акцию этого акционерного общества, будем интересоваться следующими четырьмя состояниями этой системы, характеризующимися рыночной ценой акции:
S, - от 1 руб. до 4 руб.; - от 4 руб. до 7 руб.;
s3-от 7 руб. до 9 руб.;
s - от 9 руб. до 10 руб. включительно.
Замечено, что рыночная цена акции в будущем зависит (существенно) от ее цены в текущий момент времени, при этом в силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени. Переходы системы S из состояния в состояние происходят со следующими плотностями вероятностей переходов, почти не изменяющимися с течением времени:
Попытаемся составить (приближенный) долгосрочный прогноз рьшочной цены акции и ответить на вопрос: стоит ли приобретать акции акционерного общества А по цене 6 руб. за акцию?
Из условий примера следует, что в системе S протекает дискретный однородный марковский случайный процесс с непрерывным временем. Следовательно, все потоки событий, порождающие переходы системы 5 из состояния в состояние, - простейшие. Размеченный граф состояний системы S выглядит следующим образом (см. рис. 10.1):
Аз.=1
Я„=4
Яз,=3
По графу видно, что система S эргодична, т.е. из любого своего состояния может перейти (за конечное число шагов) в любое другое свое состояние. Например, из состояния система S может перейти в любое другое состояние по следующему пути:
«2-►Хз-
Итак, выполняются все условия теоремы 10.1, по которой существуют финальные вероятности состояний р,, р, Рз, р, не зависящие от времени и от состояний системы 5 в начальный момент времени. Эти финальные вероятности как раз и дают нам информацию о долгосрочном прогнозе рыночной цены акции.
Составим по одному из трех выше сформулированных правил систему четырех линейных алгебраических уравнений с четьфьмя неизвестными р,, Pj, Р3, р:
-4р,+3рз=0, 4р,-10р2+2рз=0,
10р,-6рз+4р,=0, <1°->
Рз-4Р4=0.
Из последнего уравнения системы (10.4):рз=4р ,. Подставив это в 1-е уравнение системы (10.4), найдем: р,=3р. Если найденные значения Рз и р,, выраженные через р, подставить во 2-е уравнение системы (10.4), то получим:Р2=2р. Таким образом, мы нашли общее решение системы (10.4):
(р, = 3р4;р2 =2р,;рз = 4р,;р,),
зависящее от одного свободного параметра е [0,1] и представляющее собой множество всех частных решений. Из этих частных решений найдем то, которое удовлетворяет нормировочному условию р,+р2+Рз+р=1. Подставим в это равенство найденные значенияр.рРд и получим, чтор=0,1. Тогда р =0,3, р=0,2, Рз=ОА, РГХ
Таким образом, долгосрочный прогноз рыночной цены акции состоит в том, что по истечении достаточного времени вероятнее всего {p=0,4>p, р, р) цена акции будет колебаться в пределах от 7 до 9 руб. Поэтому стоит рискнуть и приобрести акции по цене 6 руб.
Краткие выводы
• Финальные вероятности р. состояний s., i=l,и, системы 5, в которой протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем, представляют собой пределы (если они существуют) вероятностных функций Pj(0 состояний системы в момент времени i при
• Для существования финальных вероятностей состояний системы, в которой протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем, достаточно, чтобы система была эргодической, имела конечное число состояний и меняла эти состояния под воздействием простейших потоков.
• Финальные вероятности состояний р., i=l,п, удовлетворяют нормировочному условию (10.2).
• Финальные вероятности можно интерпретировать как среднее относительное время пребывания системы в состоянии S. после установления финального стационарного режима.
• Финальные вероятности (если они существуют) можно найти из однородной системы линейных алгебраических уравнений (10.3), коэффициентами в которых являются плотности вероятностей переходов, равные интенсивно-стям пуассоновских потоков, под воздействием которых происходят эти переходы.