назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


51

Рассматривая в качестве системы S одну акцию этого акционерного общества, будем интересоваться следующими четырьмя состояниями этой системы, характеризующимися рыночной ценой акции:

S, - от 1 руб. до 4 руб.; - от 4 руб. до 7 руб.;

s3-от 7 руб. до 9 руб.;

s - от 9 руб. до 10 руб. включительно.

Замечено, что рыночная цена акции в будущем зависит (существенно) от ее цены в текущий момент времени, при этом в силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени. Переходы системы S из состояния в состояние происходят со следующими плотностями вероятностей переходов, почти не изменяющимися с течением времени:

<

>

Попытаемся составить (приближенный) долгосрочный прогноз рьшочной цены акции и ответить на вопрос: стоит ли приобретать акции акционерного общества А по цене 6 руб. за акцию?

Из условий примера следует, что в системе S протекает дискретный однородный марковский случайный процесс с непрерывным временем. Следовательно, все потоки событий, порождающие переходы системы 5 из состояния в состояние, - простейшие. Размеченный граф состояний системы S выглядит следующим образом (см. рис. 10.1):

А.,-4

«23 х„

•4--

Аз.=1

Я„=4

Яз,=3



По графу видно, что система S эргодична, т.е. из любого своего состояния может перейти (за конечное число шагов) в любое другое свое состояние. Например, из состояния система S может перейти в любое другое состояние по следующему пути:

«2-►Хз-

Итак, выполняются все условия теоремы 10.1, по которой существуют финальные вероятности состояний р,, р, Рз, р, не зависящие от времени и от состояний системы 5 в начальный момент времени. Эти финальные вероятности как раз и дают нам информацию о долгосрочном прогнозе рыночной цены акции.

Составим по одному из трех выше сформулированных правил систему четырех линейных алгебраических уравнений с четьфьмя неизвестными р,, Pj, Р3, р:

-4р,+3рз=0, 4р,-10р2+2рз=0,

10р,-6рз+4р,=0, <1°->

Рз-4Р4=0.

Из последнего уравнения системы (10.4):рз=4р ,. Подставив это в 1-е уравнение системы (10.4), найдем: р,=3р. Если найденные значения Рз и р,, выраженные через р, подставить во 2-е уравнение системы (10.4), то получим:Р2=2р. Таким образом, мы нашли общее решение системы (10.4):

(р, = 3р4;р2 =2р,;рз = 4р,;р,),

зависящее от одного свободного параметра е [0,1] и представляющее собой множество всех частных решений. Из этих частных решений найдем то, которое удовлетворяет нормировочному условию р,+р2+Рз+р=1. Подставим в это равенство найденные значенияр.рРд и получим, чтор=0,1. Тогда р =0,3, р=0,2, Рз=ОА, РГХ



Таким образом, долгосрочный прогноз рыночной цены акции состоит в том, что по истечении достаточного времени вероятнее всего {p=0,4>p, р, р) цена акции будет колебаться в пределах от 7 до 9 руб. Поэтому стоит рискнуть и приобрести акции по цене 6 руб.

Краткие выводы

• Финальные вероятности р. состояний s., i=l,и, системы 5, в которой протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем, представляют собой пределы (если они существуют) вероятностных функций Pj(0 состояний системы в момент времени i при

• Для существования финальных вероятностей состояний системы, в которой протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем, достаточно, чтобы система была эргодической, имела конечное число состояний и меняла эти состояния под воздействием простейших потоков.

• Финальные вероятности состояний р., i=l,п, удовлетворяют нормировочному условию (10.2).

• Финальные вероятности можно интерпретировать как среднее относительное время пребывания системы в состоянии S. после установления финального стационарного режима.

• Финальные вероятности (если они существуют) можно найти из однородной системы линейных алгебраических уравнений (10.3), коэффициентами в которых являются плотности вероятностей переходов, равные интенсивно-стям пуассоновских потоков, под воздействием которых происходят эти переходы.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]