назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [ 50 ] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


50

Пример 10.1. Предположим, что система 5может находиться в одном из четырех состояний s, s, Sg, с финальными вероятностямир,=0,4;р2=0,1;Рз=0,3;р=0,2. Это означает, что после установления финального стационарного режима система S в среднем 0,4 времени будет находиться в состоянии s, 0,1 времени - в состоянии s, 0,3 времени - в состоянии $3 и 0,2 времени - в состоянии s.

Для вычисления финальных вероятностей р, i=l.....п,

по формуле (10.1) надо сначала найти вероятности состояний Pj(0. п, из системы дифференциальных уравнений Колмогорова (4.4), а затем вычислить пределы (10.1). Но можно поступить иначе, а именно, в уравнениях (4.4) перейти к пределу при i-»+oo. Так как p.{t) при i-»+oo стремится к постоянной р., а производная постоянной равна нулю, то левые части уравнений (4.4) в пределе дают нули, и мы получаем однородную систему п алгебраических линейных уравнений относительно п неизвестных Р, i-i.....п:

ES Р.+ХЛ=0- г = 1.-.,и, (10.3)

где, напомним, Ajj=0, i=l,п (см. §4). Определителем системы (10.3) является определитель

-(Я,2+...+Я,„) Ял ... я„,

12 -(Я21+Я23+... + Я2„) ... Я„2

2„ ••• -(Я„,+...+Я„,.,)

Очевидно, что сумма элементов каждого столбца определителя Л равна нулю. Поэтому сумма строк этого определителя равна нулевой строке и, следовательно, строки линейно зависимы. А это означает, что Л=0. Но тогда, как



части записать со знаком минус произведение

суммы всех плотностей вероятностей переходов А..,

соответствующих стрелкам, выходящим из 1-го состояния Sj, на финальную вероятность р. состояния s., плюс сумму

jiP} произведений кр. плотностей вероятностей переходов к, соответствующих стрелкам, входящим в состояние S. из состояния S., на соответствующие финальные вероятности р. состояний а в правой части уравнения записать ноль.

П правило составления системы (10.3) по размеченно-у графу состояний системы S:

Если систему (10.3) переписать в виде

то это правило можно сформулировать так:

Сумма XsPi произведений Яр, плотностей вероят-

ностей переходов Я., соответствующих выходящим из состояния Sj стрелкам, на финальные вероятности Pj этого

известно из линейной алгебры (см., например,[10], с.61), однородная система (10.3) имеет бесконечное множество ненулевых решений (р,,р). Из этих решений мы должны выбрать то, которое удовлетворяет нормировочному условию (10.2).

Сформулируем три правила составления системы уравнений (10.3), два по графу и одно по матрице плотностей вероятностей.

I правило составления системы (10.3) по размеченному графу состояний системы S:

Для того чтобы составить i-e уравнение, надо в его левой



§10. < дискр<

СОСТОЯНИЯХ;, равна сумме jtPj произведений Я,р плотностей вероятностей переходов Я, соответствующих входящим в состояние s. стрелкам из состояния s, на соответствующие финальные вероятности Pj состояний s,.

Ш правило составления системы (10.3) по матрице плотностей вероятностей переходов:

\\ - 1-1 1 1+1 -

- i-U-l i-li - i-ln

Л= Яу ... Яд , Я Яд., ... Яй

Я(„ ... ki+ii-t - Л+1п

Я„, ... Я„ , Я„. Я„., ... Я„„

Для того чтобы записать i-e уравнение системы (10.3)

по матрице Л, надо сумму произведений Яр эле-

ментов i-й строки матрицы Л на финальную вероятность

р. приравнять сумме ХяР> произведений Я,р элемен- м

тов г-го столбца матрицы Л на соответствующие финальные вероятности р.

Заметим, что если система S с конечным числом состояний, в которой протекает однородный марковский процесс с непрерывным временем, не является эргодической, то для нее все же существуют предельные вероятности состояний, но зависящие уже от начального распределения вероятностей.

Пример 10.2. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции акционерного общества А открытого типа может колебаться в пределах от 1 руб. до 10 руб. включительно.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [ 50 ] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]