§9.
ыс ероятности <
кояской цепи
протяжении: состояние s - процентная ставка 5%, состояние - процентная ставка 6%. Вероятности переходов банков i4 и В из состояния в состояние не зависят от времени t и задаются соответственными матрицами
Постройте размеченные графы состояний банков А и В.
Существуют ли финальные вероятности состояний банков? Если да, то определите их. В какой банк выгоднее делать вклады?
Ответы к заданиям §9
9.1. Финальные вероятности состояний р,=0,5;р2=0,2; р=0,3.
9.2. Финальные вероятности состояний рынка р,=25/49, 2=24/49.
9.3. Финальные вероятности банка i4: р,=4/11,р2=7/11. Финальные вероятности банка В: р,=1/9, Р2=8/9.
§10
Финальные вероятности соаояний системы, в которой протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем
в данном параграфе рассматриваются финальные вероятности и метод их вычисления для систем, в которых протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем.
Пусть в системе S с дискретными состояниями s,,протекает марковский процесс с непрерывным временем (т.е. переходы системы S из состояния в состояние могут происходить в любые случайные моменты времени). Предположим, что все потоки событий, под воздействием которых происходят эти переходы - простейшие (т.е. стационарные пуассоновские). Значит, интенсивности Я„ (i,j=i,.... п) простейших потоков, порождающих переходы системы 5 из состояния S. в состояние s, постоянны (не зависят от времени t): Я =const. Пустьp.(i), i=l,п, - вероятности состоя-
Вероятностное нодеянрояание я финансово-экономической области
НИИ S системы S в момент времени t. Пределы (если они существуют)
Pi = Ump,(0 (i=l,...,n), (10.1)
являются финальными (или предельными) вероятностями состояний (см. Определение 9.1). Для процесса с непрерывным временем условия существования финального стационарного режима и, следовательно, финальных вероятностей, даются следующей теоремой.
Теорема 10.1. Если число состояний системы S конечно, система S является эргодической (см. Определение 1.10) а все потоки событий, порожданлцие переходы системы S из состояния в состояние, - простейшие, то существуют финальные вероятности состояний (не зависящие ни от времени, ни от начального состояния системы S).
Если финальные вероятности (10.1) существуют, то, переходя в нормировочном равенстве (4.1) к пределу при t-+oo, получим нормировочное условие для финальных вероятностей
Ха=1- (10.2)
Финальную вероятность р. можно интерпретировать как среднее относительное время пребывания системы S в состоянии S. после того, как установился финальный стационарный режим. Таким образом, если T среднее время пребывания системы S в состоянии s. (т.е. 7j - математическое ожидание случайной величины 7], представляющей собой время однократного пребывания системы S в состоянии Sj), а б. - среднее время пребывания системы S вне состояния S. (т.е. математическое ожидание случайной величины hi, представляющей собой время однократного пребывания системы S вне состояния s.) после установления финального стационарного режима, то финальная вероятность р. пребывания системы S в состоянии s. равна