назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [ 49 ] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


49

§9.

ыс ероятности <

кояской цепи

протяжении: состояние s - процентная ставка 5%, состояние - процентная ставка 6%. Вероятности переходов банков i4 и В из состояния в состояние не зависят от времени t и задаются соответственными матрицами

Рв =

[о.1

Постройте размеченные графы состояний банков А и В.

Существуют ли финальные вероятности состояний банков? Если да, то определите их. В какой банк выгоднее делать вклады?

Ответы к заданиям §9

9.1. Финальные вероятности состояний р,=0,5;р2=0,2; р=0,3.

9.2. Финальные вероятности состояний рынка р,=25/49, 2=24/49.

9.3. Финальные вероятности банка i4: р,=4/11,р2=7/11. Финальные вероятности банка В: р,=1/9, Р2=8/9.



§10

Финальные вероятности соаояний системы, в которой протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем

в данном параграфе рассматриваются финальные вероятности и метод их вычисления для систем, в которых протекает дискретный однородный марковский процесс с непрерывным временем.

Пусть в системе S с дискретными состояниями s,,протекает марковский процесс с непрерывным временем (т.е. переходы системы S из состояния в состояние могут происходить в любые случайные моменты времени). Предположим, что все потоки событий, под воздействием которых происходят эти переходы - простейшие (т.е. стационарные пуассоновские). Значит, интенсивности Я„ (i,j=i,.... п) простейших потоков, порождающих переходы системы 5 из состояния S. в состояние s, постоянны (не зависят от времени t): Я =const. Пустьp.(i), i=l,п, - вероятности состоя-



Вероятностное нодеянрояание я финансово-экономической области

НИИ S системы S в момент времени t. Пределы (если они существуют)

Pi = Ump,(0 (i=l,...,n), (10.1)

являются финальными (или предельными) вероятностями состояний (см. Определение 9.1). Для процесса с непрерывным временем условия существования финального стационарного режима и, следовательно, финальных вероятностей, даются следующей теоремой.

Теорема 10.1. Если число состояний системы S конечно, система S является эргодической (см. Определение 1.10) а все потоки событий, порожданлцие переходы системы S из состояния в состояние, - простейшие, то существуют финальные вероятности состояний (не зависящие ни от времени, ни от начального состояния системы S).

Если финальные вероятности (10.1) существуют, то, переходя в нормировочном равенстве (4.1) к пределу при t-+oo, получим нормировочное условие для финальных вероятностей

Ха=1- (10.2)

Финальную вероятность р. можно интерпретировать как среднее относительное время пребывания системы S в состоянии S. после того, как установился финальный стационарный режим. Таким образом, если T среднее время пребывания системы S в состоянии s. (т.е. 7j - математическое ожидание случайной величины 7], представляющей собой время однократного пребывания системы S в состоянии Sj), а б. - среднее время пребывания системы S вне состояния S. (т.е. математическое ожидание случайной величины hi, представляющей собой время однократного пребывания системы S вне состояния s.) после установления финального стационарного режима, то финальная вероятность р. пребывания системы S в состоянии s. равна

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [ 49 ] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]