назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


47

§9. Фиимьны* кроятности однородной маркояской цепи

Подставив (9.7) в (9.6), найдем: р,=1/4. Но тогда из (9.7) Р2=3/4.

Итак, финальный вектор вероятностей состояний системы S имеет вид: (р,, р, р)=( 1/4,3/4,0).

Обратим внимание на то, что в приведенном примере предельная вероятность неустойчивого состояния равна Рз=0. Это, очевидно, справедливо в общем случае любой системы.

Отметим, что у нерегул5фной марковской цепи все же могут существовать предельные вероятности. Приведем подтверждающий пример.

Пример 9.4. Система 5, граф состояний которой приведен на рис. 9.3, имеет поглощающее состояние поэтому рано или поздно она перейдет в это состояние и останется в нем навсегда. Следовательно, для данной системы 5 финальные вероятности существуют и равны p=p2=0, р=1.

Ри=0,6

Р22=0,5

Рзз=1

р„=0,4

1 1

Р23=0,2

1 1

-►

«2

*-7Г-

Рис. 9.3

Тем не менее, рассматриваемая система не является регулярной, ибо состояния s и не являются неустойчивыми, но элементы, стоящие на пересечениях третьей строки и первых двух столбцов любой степени Р" матрицы переходных вероятностей

(0,6 0,4 О 1 0,3 0,5 0,2 О О 1

очевидно, равны нулю.

Приведем содержательный пример на вычисление финальных вероятностей.



вероятностное модеяироеаиие в финансово-экономической области

Пример 9.5. (ср. [9], Упражнение 5, с. 220).

Поведение рынка ценных бумаг обнаруживает следующую тенденцию: сделки, в которых цены возрастают, сменяются сделками, в которых цены падают. Наблюдения показали, что условная вероятность возрастания цен после предшествовавшего периода их падения равна 0,65, а условная вероятность падения цен после предшествовавшего периода их возрастания равна 0,6.

Определим соответствующие состояния, построим их размеченный граф, выпишем матрицу переходных вероет-ностей и найдем финальные вероятности состояний.

В качестве системы S будем рассматривать рынок ценных бумаг. Тогда система 5 может находиться только в двух состояниях: s- падение цен, и s,- возрастание цен, и, следовательно, протекающий в системе 5 процесс является дискретным.

Предстоящее состояние, в которое перейдет система 5, зависит (в существенном) от состояния, в котором она находится в настоящий момент времени; поэтому этот процесс является марковским.

Будем предполагать, что моменты времени t, t, ... настолько близки друг к другу, что между ними система S не изменяет своего состояния и, следовательно, процесс, протекающий в системе 5, с определенной погрешностью можно считать процессом с дискретным временем.

УЬловные вероятности 0,65 и 0,6, данные в условии примера, являются, очевидно (см. Определение 9.5), вероятностями и 21-

Тогда, используя нормировочное условие (2.2), при п=2 для г=1и 1=2 получим

Pii=l-Pi2 =1-0.65 = 0,35; p22=l-P2i =1-0.6=0,4.

Размеченный граф состояний системы S будет иметь следующий вид (см. рис. 9.4).

Матрица переходных вероятностей

Ри Рп

(0,35 0,65

Рп Р22

0,6 0,4

(9.8)



1 проятнести однородной маркояской цепи

Рис. 9.4

Поскольку все элементы матрицы Р положительны, то система S регулярна и потому существуют финальные вероятности р, Hpj соответственно состояний и s- Из уравнения (9.3) при п=2 с матрицей Р, определяемой формулой (9.8), получаем

f0,35 0,65"! 0,6 0,4

откуда

(й.Р2)=(а.Р2)-(а.Р2)=(0-35а +0,6р2; 0,65+0,42),

А=0,35а+0,6р2, Р2= 0,65а+0,4р,

0,65а-0,6р2=0, -0,65а+0,6р2=0.

Уравнения полученной системы пропорциональны (например, второе уравнение получается из первого умножением на -1), а потому одно из них, например второе, можно отбросить. Заменив второе уравнение нормировочным условием, получим систему

0,65р,-0,6р2=(

а+Р2=1,

решив которую, найдем

а =0,4 а =0.52.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]