назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [ 46 ] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


46

Вероятностное модеяироеанне i

0-9кономической области

Уравнение (9.3), решив которое можно найти финальные вероятности, бьио выведено только при условии существования последних. Сформулируем некоторые достаточные условия существования финальных вероятностей. Предварительно введем понятие регулярности марковской цепи.

Определение 9.2. Марковская цепь называется регулярной, если существует натуральное число т такое, что любой элемент матрицы Р" положителен, за исключением, быть может, элементов, стоящих в столбцах, номера которых совпадают с номерами неустойчивых состояний системы 5, т.е. состояний без входов см. Оп еделение 1.9).

Пример 9.1 (нерегулярной цепи). Рассмотрим однородную марковскую цепь, размеченный граф состояний которой указан на рис. 9.1.

p12-I

I

рз.=1

Рис. 9.1

В данном слзп1ае у системы S нет неустойчивых состояний. Матрица переходных веро5Ггностей имеет вид

Имеем

P33J

0>

р=рр=

,р=р.р =

бтсюда понятно, что Р=Р, Р=Р, FP", Р=Р*=Р, .... Таким образом, любая т-я степень матрицы Р переход-



§9. Финальные вероятности t

жовском цепи

ных вероятностей системы S содержит нулевые элементы. А так как у системы 5 нет неустойчивых состояний, то рассматриваемая марковская цепь не является регулярной.

Пример 9.2 (регул5фной цепи). Рассмотрим однородную марковскую цепь с размеченным графом на рис 9.2.

Р..=0,4

РгГ0,2

Рз.=0,7

Рзз=0,3

£1

Рис. 9.2

Состояние Sg неустойчиво. Матрица переходных вероятностей

Имеем

Ри Ра

Г0,4

Рзг Рз2

Рзз)

0,28

0,72

0,24

0,76

0,49

0,42

0,09

(9.4)

Мы видим, что при т =2 каждый элемент матрицы РР, кроме элементов третьего столбца, номер которого совпадает с номером неустойчивого состояния положителен. Следовательно, по определению регулярности, данная марковская цепь регулярна.

Приведем (без доказательства) следующую теорему, в которой сформулированы достаточные условия существования предельных вероятностей.

Теорема 9.3. Если однородная марковская цепь с конечным числом (п) состояний регулярна, то существуют



1 области

финальные вероятности р,.....р, причем

Pl.....Рл

и строк.

.....Р)\

Таким образом, для нахождения финальных вероятностей целесообразно поступить следующим образом: сначала проверить марковскую цепь на регулярность и, если она таковой окажется, финальный стационарный вектор вероятностей можно найти из уравнения (9.3).

Пример 9.3. Марковская цепь, рассмотренная в примере 9.2, оказалась регулярной. Следовательно, по теореме 9.3 существуют финальные вероятности р,, р,, р Найдем их из уравнения (9.3) при я=3 и матрице Р, задаваемой равенством (9.4),

(а.Р2.Рз)=(й.Р2-Рз)

f0,4 0,6 О 1 0,2 0,8 О 0,7 О 0,3

(9.5)

Произведя умножение в правой части этого равенства, получим

(А.Р2.Рз) = (0.4р,+0,2р2+0,7рз; 0,6р,+0,8р2; О.Зрз), откуда

р, =0,4р, +0,2р2+0,7рз; f0,6p,-0,2p2 =0,

Р2=0,6р,+0,8р2; -0.6р,+0,2р2=0;

Рз = 0,3рз, [рз=0.

Из первого уравнения

А =(1/3) А. (9.6)

Итак, (р,=(1/3)р2; р,; Рз=0) - общее решение уравнения (9.5), зависящее от одного произвольного параметрар,. Подберем этот параметр из нормировочного условия Рх+РгРтГ- Отсюда

р,=1-р,. (9.7)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [ 46 ] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]