назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


45

§9

Финальные вероятности однородной марковской цепи

Цель настоящего параграфа - описать понятия финального стационарного режима протекания случайного процесса в однородной марковской цепи и финальных вероятностей состояний, сформулировать достаточные условия их существования и вывести векторно-матричное уравнение, из которого можно определить финальные вероятности.

В приложении марковских процессов к финансово-экономическим ситуациям одним из важных факторов является довольно длительное протекание процесса, т.е. протекание процесса после окончания воздействия на него начальных условий. При некоторых условиях в конце концов устанавливается финальный стационарный режим процесса, при котором вероятности состояний системы уже не зависят ни от времени, ни от начального распределения вероятностей.

Определение 9.1. Вероятности состояний CHCtcMbi в финальном стационарном режиме называются финальными (или предельными, или стационарными) ве-нюстями и обозначаются через p,р а вектор



Вероятностное модеяироиине • финансоео-зкономической оСяасти

iPi,координатами которого служат финальные вероетности, называется финальным (или предельным, или стационарным) вектором.

Здесь мы рассмотрим случай однородной марковской цепи (см. § 2), т.е. систему S с дискретными состояниями и с дискретным временем. Таким образом, система S может переходить (скачком) из состояния в состояние только в определенные моменты времени t.....г,называемые шагами (см. Определение 2.1).

Пусть

(й(О),...,Р„(0))

- вектор начального распределения вероятностей (см. Определение 2.9) и

Рч - Ры

- матрица переходных вероятностей р (из состояния s. в состояние sp, не зависящих в силу однородности цепи от шагов t,....

Теорема 9.1. Если существует финальный стационарный режим и, следовательно, существуют финальные вероятности, то для того чтобы p, ...,р были финальными вероятностями, необходимо и достаточно, чтобы существовал т-й шаг такой, что

(а.-.Р„)=(а(«).....р„(т)) = (А(п+1). •.Р„(«+1))- (9-1)

Доказательство: Достаточность. Пусть существуют финальные вероятности. Пусть существует натуральное число т, для которого выполняется равенство (9.1). Из (2.4) при к = т+2 и (9.1) имеем

(р,(«+2),...,р„(т+2)) =

=(р(т+\),...,р,(т+\)) Р=ip,(m),...,p„{m)) • Р = ,=(р,(т+1).....р»(т+1»=(р„...,р„).



§9. Фиимьиы* ироятности однородной мархоккой цени

Аналогачно (р,.-•.p„)=(p,(m+3),...,p„(m+3)) ит.д.Таким образом,

(а.-.Р„)=(А("+-).-,Р„(п+г)), г=0, 1, 2.....

т.е. вектор (р,,pJ не зависит от шагов, а это и означает,

что р,.....р - финальные вероятности.

Необходимость. Пусть р,,р - финальные вероятности. Тогда из их определения следует, что найдется ти-й шаг, начиная с которого вероятности состояний не будут ме-неться и будут равны финальным. А это означает выполнение равенства (9.1).

Следствие 9.1. Если существуют финальные вероятности, то для того чтобы р,,р были финальными вероятностями, необходимо и достаточно, чтобы суие-ствовал т-й шаг такой, что

(Pv-,Pn)=iPiim+r),...,pXm+r)), г = 0, 1, 2,.....

Доказательство очевидно.

Из (9.1) и (2.1) следует, что финальные вероятности удовлетворяют нормировочному условию

t,Pi=t,pXm)=\. (9.2)

1=1 1=1

Теорема 9.2. Если существуют финальные вероятности, то финальный вектор (р,.....pJ можно найти из

уравнения

(а.....P„XPv-.Pn)P< (9-3)

где Р - матрица переходных вероятностей.

Доказательство: Так как финальные вероятности существуют, то найдется натуральное число т такое, что выполняется равенство (9.1). Тогда из (2.4) при k=m+l имеем

(й.....Р„) = (Pi(m+i).....рЛт+i)) = (Pi(m).....p„(f"))P=

= iPi.....Р.УР,

т.е. равенство (9.3) доказано.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]