§9
Финальные вероятности однородной марковской цепи
Цель настоящего параграфа - описать понятия финального стационарного режима протекания случайного процесса в однородной марковской цепи и финальных вероятностей состояний, сформулировать достаточные условия их существования и вывести векторно-матричное уравнение, из которого можно определить финальные вероятности.
В приложении марковских процессов к финансово-экономическим ситуациям одним из важных факторов является довольно длительное протекание процесса, т.е. протекание процесса после окончания воздействия на него начальных условий. При некоторых условиях в конце концов устанавливается финальный стационарный режим процесса, при котором вероятности состояний системы уже не зависят ни от времени, ни от начального распределения вероятностей.
Определение 9.1. Вероятности состояний CHCtcMbi в финальном стационарном режиме называются финальными (или предельными, или стационарными) ве-нюстями и обозначаются через p,р а вектор
Вероятностное модеяироиине • финансоео-зкономической оСяасти
iPi,координатами которого служат финальные вероетности, называется финальным (или предельным, или стационарным) вектором.
Здесь мы рассмотрим случай однородной марковской цепи (см. § 2), т.е. систему S с дискретными состояниями и с дискретным временем. Таким образом, система S может переходить (скачком) из состояния в состояние только в определенные моменты времени t.....г,называемые шагами (см. Определение 2.1).
Пусть
(й(О),...,Р„(0))
- вектор начального распределения вероятностей (см. Определение 2.9) и
Рч - Ры
- матрица переходных вероятностей р (из состояния s. в состояние sp, не зависящих в силу однородности цепи от шагов t,....
Теорема 9.1. Если существует финальный стационарный режим и, следовательно, существуют финальные вероятности, то для того чтобы p, ...,р были финальными вероятностями, необходимо и достаточно, чтобы существовал т-й шаг такой, что
(а.-.Р„)=(а(«).....р„(т)) = (А(п+1). •.Р„(«+1))- (9-1)
Доказательство: Достаточность. Пусть существуют финальные вероятности. Пусть существует натуральное число т, для которого выполняется равенство (9.1). Из (2.4) при к = т+2 и (9.1) имеем
(р,(«+2),...,р„(т+2)) =
=(р(т+\),...,р,(т+\)) Р=ip,(m),...,p„{m)) • Р = ,=(р,(т+1).....р»(т+1»=(р„...,р„).
§9. Фиимьиы* ироятности однородной мархоккой цени
Аналогачно (р,.-•.p„)=(p,(m+3),...,p„(m+3)) ит.д.Таким образом,
(а.-.Р„)=(А("+-).-,Р„(п+г)), г=0, 1, 2.....
т.е. вектор (р,,pJ не зависит от шагов, а это и означает,
что р,.....р - финальные вероятности.
Необходимость. Пусть р,,р - финальные вероятности. Тогда из их определения следует, что найдется ти-й шаг, начиная с которого вероятности состояний не будут ме-неться и будут равны финальным. А это означает выполнение равенства (9.1).
Следствие 9.1. Если существуют финальные вероятности, то для того чтобы р,,р были финальными вероятностями, необходимо и достаточно, чтобы суие-ствовал т-й шаг такой, что
(Pv-,Pn)=iPiim+r),...,pXm+r)), г = 0, 1, 2,.....
Доказательство очевидно.
Из (9.1) и (2.1) следует, что финальные вероятности удовлетворяют нормировочному условию
t,Pi=t,pXm)=\. (9.2)
1=1 1=1
Теорема 9.2. Если существуют финальные вероятности, то финальный вектор (р,.....pJ можно найти из
уравнения
(а.....P„XPv-.Pn)P< (9-3)
где Р - матрица переходных вероятностей.
Доказательство: Так как финальные вероятности существуют, то найдется натуральное число т такое, что выполняется равенство (9.1). Тогда из (2.4) при k=m+l имеем
(й.....Р„) = (Pi(m+i).....рЛт+i)) = (Pi(m).....p„(f"))P=
= iPi.....Р.УР,
т.е. равенство (9.3) доказано.