§8. Свя1ь пуассоновских потоков событий с дискретными марковскими процессамн с непрерывны!
Подставив эти значения констант В, В, Вв (8.25), (8.26), (8.27), получим
р„(О = -0.178е-" +0,178е -0,233е-= +0,223;
Pi2(O = 0,178e-"" +0,267е- +0,2336= +0,332;
Р2,(О = 0,178е"" -0,178е -0,1786"= +0,178 Функцию 22(0 найдем из равенства (8.6) Р22(О=1+0,178е-" -0,178е +0,2236"= -0,223--0,178е-" -0,267е-* -0,223е"= -0,332-0,1786""" +
+0,1786"" + 0,178е-= -0,178 = -0,178е"" -0,267е + +0,178е"=+0,267.
Итак, мы получили следующее решение системы (8.4), удовлетворяющее начальному условию (8.5)
А,(О = -0,178е-" +0,178е -0,223е"= +0,223, р,2(О=0,178е"" +0,267е +0,2236"= +0,332, Р2,(0 = 0,178е-" -0,178е -0,178е"= +0,178, Р22(0 = -0,178е"" -0,267е +0,178е"=+0,267.
При t=2 будем иметь: р„(2)=0,223; ,,(2) =0,332; P2j(2)=0,178; Р22(2)=0,267; т.е. во втором квартале система S будет находиться вероятнее всего (гаах {р,,(2), рС), Р2,(2),Р22(2)}=Р,2(2)-0,332) в состоянии s,,, т.е. банкомат B будет работать, а банкомат В ремонтироваться.
Вероятностное модеянроаанне в финансово-жономнческой обяасти
Краткие выводы
• Система, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, перескакивает из одного состояния X. в другое ж. не самопроизвольно, а под воздействием определенного события, которое мы можем отнести к событиям некоторого пуассоновского потока
и считать, таким образом, что переход системы из состояния X. в состояние ж. происходит под воздействием «всего» потока Я„. Привлечение всего потока П дает нам возможность рассматривать интенсивность Я(0 этого потока.
• Плотность вероятности Я(0 перехода системы из состояния S. в состояние Sj под воздействием пуассоновского потока Я„ равна интенсивности Я (О этого потока.
• Дискретный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе, является марковским тогда и только тогда, когда каждый из потоков, переводящих систему из состояния в состояние, является пуассоновским.
Ключевые слова и выражения
Пуассоновский поток; дискретный марковский процесс с непрерывным временем; плотность веро5Ггности перехода системы из состояния в состояние; переход системы из состояния в состояние под воздействием пуассоновского потока; интенсивность пуассоновского потока; пуассоновские системы.
Вопросы для самоконтроля
1. Что означает, что система переходит из одного состояния в другое под воздействием потока событий?
§8. CMJb nyaccoHoacKNx потоко* событий шм маркооскими процессами с непрерыаным аремеиен
2. Как связаны между собой плотность вероятности перехода Я.(0 из f-ro состояния в j-e в момент времени t системы, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, с интенсивностью A(f) в тот же момент времени t пуассоновского потока событий, под воздействием которого происходит этот переход?
3. В чем состоит связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем?
Задание к §8
8.1. В условиях примера 8.1 положить Л,=2, Х=1, ,=3, /2=2. Выполнить задания, указанные в примере 8.1, если в начальный момент времени t=0 оба банкомата работали. Найти вероятности состояний в момент t=3.
Ответ к заданию §8
8.1.
Р„ {t)=0,2e +0,267е + 0,133е-* +0,4; Р,2(0=-0.2е" +0,067е-= -0,133е-* +0,2; Р2,(0=0.133е-0.267в-= -0.1336-" +0,267; P(t)=,i33e -0,067в-= +0,133е-" +0,133; Р„(3) = 0,4; Р,2(3)=0,2; Р2,(3) = 0,267; Р22(3) = 0,133.