назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


42

§8. Связь пуассоновских потоков событий с Аискретйыми марковскими процессами с непрерывны

Так как ip{(o) многочлен приведенного вида (т.е. старший коэффициент - коэффициент при - равен 1) с целыми коэффициентами, то его корни надо искать среди целых делителей свободного члена 630. Нетрудно проверить, что (-5)=0. Следовательно, (со) делится на двучлен а>+5

ю + 28ю + 241сл-630

юЧ23<а+126

?,W + 241cj+630 ~ 23<аЧ115й)

126й)+630 ~ 126й)+630

Найдем корни полученного в частном от деления квадратного трехчлена ю + 23<а+126. По теореме Виета:<ы,=-14, «у--9 Следовательно,

23<а+126=(CJ+14)(сл-9)

и, значит,

(pia) = {(0+14)(й)+9)(ю+5).

Подставив это в уравнение (8.12), получим («+14)(«+9)(u)+5) = 0,

откуда

= -14, щ = -9, й)з = -5. (8.13)

Ранг системы (8.10) при w, равном одному из значений (8.13), равен 2, поскольку при w=w, «у, определитель системы (8.10) равен нулю (см. (8.11)), а, например, определитель, составленный из коэффициентов при у„ и yi в последних двух уравнениях системы (8.10),

2 5 -2 10+CJ

= 20+2сл-10=30+2ю0 при а=щ,а,(0.



Вероятностное моделнрояанне я фннаисово-акономнческой областн

Выберем В качестве главных неизвестных системы (8.10) неизвестные y и у,, а в качестве свободного неизвестного уу Выразим главные неизвестные через свободные. Сложив второе и третье уравнения системы (8.10), получим

(13+ю)у,2 +(15+ю)у2, =0.

откуда

15+ю

Подставив (8.14) в первое уравнение системы (8.10), найдем

35+3а

Подставляя (8.14), (8.15) и yil (поскольку у, - произвольное число, то мы вправе выбрать его равным 1) в (8.9) и затем полагая последовательно ей равным значениям (8.13), получим три частных решения системы (8.8)

iW(0=-e-", ij =е-", PJI =е-", (8.16)

I\t)-e-, iP(0=-1.5e. li\t)=e, (8-17)

if(0=l,25e-=, iP(0=-l,25e-=, iff(0=, (8.18)

из которых составляем общее решение однородной системы (8.8)

Pu(t)=cJ}(t)+C,pf\t)+C,pf\t)=-€,e-"-C+\,25C, Р«(0=С,рй(0+С,рИ(Г)+СзрИ(0=С,е-"-i.5C--i,25C-. (8-19) Р„(()=С,рМ(<)+С,рИ()+СзрР(0=С.е--"+С,е+Сзе.

Для нахождения решения неоднородной системы (8.7) применим метод вариации постоянных. Будем рассматривать



§8. Связь nyaccoHoicKNx потоков событий с дискретными марковскими процессами с непрерывны

1вре

C, Су Сз как неизвестные функции от t. Подставляя (8.19) в (8.7) и учитывая, что (8.16), (8.17) и (8.18) являются решением однородной системы (8.8), получим следующую систему

dC, dC dC

линейных уравнений относительно

(8.20)

Так как система решений (8.16), (8.17), (8.18) линейно независима, то определитель Д системы (8.20) отличен от нуля, и поэтому система (8.20) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Имеем

tiHt) t\t)

т т т iff (О pi\t)

= е-"е-е-"

-1,5е -1,25е--

-1 -1 1,25 1 -1,5 -1,25 1 1 1

= e-(( l).( l,5).U( l).( l,25).l+l.l.l,25--1 (-1,5) 1,25-1 (-1) 1-1 (-1,25)(-1)) = 5,625е-«;

Д.= 5рИ(0/?(0 2

О -е 1,25е- 5 -1,5е- -1,25е-= 2 е-

О -1 1,25 5 -1,5 -1,25 2 1 1

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]