§8. Связь пуассоновских потоков событий с Аискретйыми марковскими процессами с непрерывны
Так как ip{(o) многочлен приведенного вида (т.е. старший коэффициент - коэффициент при - равен 1) с целыми коэффициентами, то его корни надо искать среди целых делителей свободного члена 630. Нетрудно проверить, что (-5)=0. Следовательно, (со) делится на двучлен а>+5
ю + 28ю + 241сл-630 | |
| юЧ23<а+126 |
?,W + 241cj+630 ~ 23<аЧ115й) | |
126й)+630 ~ 126й)+630 | |
| |
Найдем корни полученного в частном от деления квадратного трехчлена ю + 23<а+126. По теореме Виета:<ы,=-14, «у--9 Следовательно,
23<а+126=(CJ+14)(сл-9)
и, значит,
(pia) = {(0+14)(й)+9)(ю+5).
Подставив это в уравнение (8.12), получим («+14)(«+9)(u)+5) = 0,
откуда
= -14, щ = -9, й)з = -5. (8.13)
Ранг системы (8.10) при w, равном одному из значений (8.13), равен 2, поскольку при w=w, «у, определитель системы (8.10) равен нулю (см. (8.11)), а, например, определитель, составленный из коэффициентов при у„ и yi в последних двух уравнениях системы (8.10),
2 5 -2 10+CJ
= 20+2сл-10=30+2ю0 при а=щ,а,(0.
Вероятностное моделнрояанне я фннаисово-акономнческой областн
Выберем В качестве главных неизвестных системы (8.10) неизвестные y и у,, а в качестве свободного неизвестного уу Выразим главные неизвестные через свободные. Сложив второе и третье уравнения системы (8.10), получим
(13+ю)у,2 +(15+ю)у2, =0.
откуда
15+ю
Подставив (8.14) в первое уравнение системы (8.10), найдем
35+3а
Подставляя (8.14), (8.15) и yil (поскольку у, - произвольное число, то мы вправе выбрать его равным 1) в (8.9) и затем полагая последовательно ей равным значениям (8.13), получим три частных решения системы (8.8)
iW(0=-e-", ij =е-", PJI =е-", (8.16)
I\t)-e-, iP(0=-1.5e. li\t)=e, (8-17)
if(0=l,25e-=, iP(0=-l,25e-=, iff(0=, (8.18)
из которых составляем общее решение однородной системы (8.8)
Pu(t)=cJ}(t)+C,pf\t)+C,pf\t)=-€,e-"-C+\,25C, Р«(0=С,рй(0+С,рИ(Г)+СзрИ(0=С,е-"-i.5C--i,25C-. (8-19) Р„(()=С,рМ(<)+С,рИ()+СзрР(0=С.е--"+С,е+Сзе.
Для нахождения решения неоднородной системы (8.7) применим метод вариации постоянных. Будем рассматривать
§8. Связь nyaccoHoicKNx потоков событий с дискретными марковскими процессами с непрерывны
1вре
C, Су Сз как неизвестные функции от t. Подставляя (8.19) в (8.7) и учитывая, что (8.16), (8.17) и (8.18) являются решением однородной системы (8.8), получим следующую систему
dC, dC dC
линейных уравнений относительно
(8.20)
Так как система решений (8.16), (8.17), (8.18) линейно независима, то определитель Д системы (8.20) отличен от нуля, и поэтому система (8.20) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Имеем
tiHt) t\t)
т т т iff (О pi\t)
= е-"е-е-"
-1,5е -1,25е--
-1 -1 1,25 1 -1,5 -1,25 1 1 1
= e-(( l).( l,5).U( l).( l,25).l+l.l.l,25--1 (-1,5) 1,25-1 (-1) 1-1 (-1,25)(-1)) = 5,625е-«;
Д.= 5рИ(0/?(0 2
О -е 1,25е- 5 -1,5е- -1,25е-= 2 е-
О -1 1,25 5 -1,5 -1,25 2 1 1