Веротиостиос моделирование в финансово-акономической области
Если пронумеровать состояния системы S, например, следующим образом: s„- первое, s- второе, s,- третье, S22- четвертое, а плотность вероятности перехода из г-го состояния Bj-oe (ij= 1,2,3,4) обозначить через Я„, то матрица плотностей вероятностей переходов будет выглядеть следующим образом
Поскольку потоки отказов и восстановлений, под воздействием которых происходят переходы системы S из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе S, является марковским, причем с дискретными состояниями и непрерывным временем. Тогда, обозначая вероятности состояний s„, 5,2 «2, и S22 соответственно через р„(0. PiO, и 22 (** путать с обозначениями переходных вероятностей, см. § 2), мы можем составить для них либо по графу (рис. 8.1), либо по матрице (см. § 4) систему дифференциальных уравнений Колмогорова (см. (4.4))
= -(А2 +Я, )Р„(0 + /2Й2(0 +AP2.(0.
= -(/12-НЯ,)р,2(0 + Я2Ри(0 + АР22(0.
= -(/, + Я2)Р2,(0 + Я„А,(0 + /2Я22(0.
= -(/,-Ь/Х2)р22(0 + Я,А2(0 + Я,А.(0.
или, подставляя сюда значения Я,, к, /г. получим
§8. Связь луассоиовсиих потоков событий с дискретными марковскими процессами с непрерывным временем
%?=-7р„(0+2А2(0+5а.(0.
= 3p,,{t)-6p,,(t)+5p,,(t).
dP2t)
4P„(0-8P2.(0+2P22(0,
(8.4)
В начальный момент времени t=0 система находилась в состоянии 5,2- Поэтому начальные условия, при которых нужно решить систему (8.4), имеют вид
Р„(0)=0; р„(0)=1; Р2,(0)=0; р,,(.0)=0.
(8.5)
Нормировочное условие (4.1) при я=4 в данном случае примет вид
Й2(0 + Р2,(0+ Р22(0 = 1, О,
из которого
Р22(0 = 1 - А. (О - А2(0 - Р2. (О. t > 0.
(8.6)
Подставив (8.6) во второе и третье уравнения системы (8.4) и отбрасывая четвертое уравнение, получим неоднородную систему трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
% = -7а,(0+2А2(0+5Р2.(0.
!f=-2p„(t)-llA2(0-5p2i(0+5. (8.7)
1=2р„(О-2р,2(О-10Р2.(О+2.
Решим сначала соответствующую системе (8.7) однородную систему
Вероятностное моделирование в финансово-экономической обяасти
2p„(0-llA2(0-5p2.(0,
(8.8)
i = 2A.(O-2A2(O-10ft.(O-
Решение будем искать в виде показательных функций
Рп(0 = Уие"*, Pnit) = У,2е", Р2.(0 = У2.е°- (8-9)
После подстановки (8.9) в (8.8), сокращения на е, переноса правых частей уравнений в левые и приведения подобных слагаемых, получим однородную линейную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными
(7+ю)У„-2у,2-5у2,=0,
2у„+(11+й))У,2+5У21=0.
-2у„+2у.2+(10-ье))У2,=0.
(8.10)
Характеристическое уравнение системы (8.8) выглядит следующим образом
1+са -2 -5 2 П+ю 5 -2 2 10-ьш
(8.11)
где в левой части стоит определитель системы (8.10). Раскрывая этот определитель и делая приведение подобных слагаемых, получим относительно «кубическое уравнение
28й)Ч 241й)-н630 = 0.
(8.12)
Обозначим левую часть уравнения (8.12) через (со) (р{а)=28шЧ 241й) -н630.