§8. Спи пуассоноаских пвтоков событий с «йскротными марковскими процессами с иопрерывиы!

скими потоками событий раскрывается в следующем утверждении.

Для того чтобы случайный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе с дискретными состояниями, был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими (стационарными или нестационарными - безразлично).

В силу этого утверждения системы, в которых протекают дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем, называют пуассоновскими системами.

Используя указанную связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем, исследование процесса целесообразно проводить по следующему алгоритму:

1. Описать каждое возможное состояние системы.

2. Составить граф состояний, в котором стрелками указать только возможные непосредственные переходы системы из состояния в состояние.

3. Разметить составленный граф, указывая у каждой стрелки возможного непосредственного перехода системы S из состояния S. в состояние Sj интенсивность Я„(г) потока событий Я, под влиянием которого осуществляется этот переход.

4. Указать начальное состояние системы (при t=0).

Пример 8.1. В операционном зале банка установлены два банкомата B и В, предназначенные для операций с пластиковыми карточками. Каждый из банкоматов независимо от другого может «отказывать» (выходить из строя). Предположим, что поток отказов банкомата В, - пуассоновский с интенсивностью Я=4 (отказа в квартал), поток отказов банкомата В," также пуассоновский с интенсивностью Я2=3 (отказа в квартал). Каждый банкомат после отказа сразу начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток окончаний ремонта, т.е. поток восстановлений банкомата B - пуассоновский с интенсивностью и,=5 (восста-

, „ Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

120 i : :

новлений в квартал), поток восстановлений банкомата - пуассоновский с интенсивностью м" (восстановлений в квартал).

Построить размеченный граф состояний системы, в качестве которой мы рассматриваем оба банкомата; сформировать матрицу плотностей вероятностей переходов этой системы из состояния в состояние; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей этих состояний; определить начальное распределение вероятностей, если в начальный момент времени t=0 банкомат В работал исправно, а банкомат находился в ремонте; решить составленную систему дифференциальных уравнений Колмогорова при определенных начальных условиях и найти вероятности состояний во втором квартале от начала анализа, т.е. в момент t=2.

Подчеркнем, что потоки отказов понимаются в теоретическом смысле, т.е. события в каждом из этих потоков -отказы, а между отказами предполагается, что банкомат работает исправно. Аналогичное замечание относится и к потокам восстановлений: событиями в каждом из потоков восстановлений являются восстановления (т.е. окончания ремонтов банкоматов), а между событиями банкомат ремонтируется.

Рассматриваемые пуассоновские потоки имеют постоянные интенсивности, а потому являются простейшими.

Состояние исправности банкомата будем обозначать индексом 1, а состояние ремонта - индексом 2. Состояния системы 5 будем обозначать s., 2}, где первый ин-

декс i обозначает состояние исправности при i=l или состояние ремонта при г=2 банкомата B, а второй индекс j -состояние исправности, если7=1, или состояние ремонта, если 7=2, банкомата В. Система S может находиться в следующих состояниях:

s„ - оба банкомата исправны;

- банкомат В, исправен, а банкомат В ремонтируется;

Sj, - банкомат В, ремонтируется, а банкомат В исправен;

S22 - оба банкомата ремонтируются.

f 8. Стюь пуассоиоаскнх потекоа соСытиС с дмскрстиыми маркоаскимй процессами с напрерыаным временам

Размеченный граф состояний системы S изображен на рис. 8.1.

А,=4

А,=3

)лг5 А.=4

А,=3

fir5

Рис. 8.1

Из состояния s (оба банкомата исправны) в состояние

(банкомат B исправен, банкомат ремонтируется) система S может перейти под воздействием потока отказов банкомата Ви потому на основании теоремы 8.1 плотность вероятности этого перехода равна интенсивности А2=3 этого потока. Обратный переход из состояния в состояние s осуществляется под воздействием потока восстановлений банкомата В и, следовательно, плотность вероятности этого перехода равна интенсивности =-2 потока восстановлений банкомата В.

Из состояния (банкомат B исправен, а банкомат В ремонтируется) система 5 может перейти в состояние sj (оба банкомата ремонтируются) под воздействием потока отказов банкомата В,; поэтому плотность вероятности этого перехода равна интенсивности А,=4 указанного потока.

Плотности вероятностей переходов у других стрелок определяются аналогичными рассуждениями.

Вероятности того, что оба банкомата одновременно выйдут из строя или оба банкомата одновременно восстановятся, или одновременно один банкомат откажет, а другой восстановится пренебрежимо малы и потому не оказывают существенного влияния на протекающий в системе S процесс. В силу этого на графе (рис. 8.1) отсутствуют диагональные стрелки s-s, «225,,, «2,5,2 и s,2S2,.