При исследовании системы для большей наглядности удобно использовать граф состояний этой системы.

Полное представление о поведении этой системы за определенный промежуток времени дает ее реализация за этот промежуток времени, представляющая собой ступенчатую функцию. При этом считают, что в момент перескока из состояния в состояние система находится в состоянии, в которое она перескочила, а не в состоянии, из которого она перескочила.

Ключевые слова и выражения

Случайная величина; случайный процесс; случайная функция; система; состояние системы; случайный процесс, протекающий в системе; дискретное множество состояний; непрерывное множество состояний; дискретный процесс; непрерывный процесс; свойство отсутствия последействия; марковский процесс; граф состояний системы; множество (состояний) без выхода (поглощающее множество, или обобщенная ловушка); множество (состояний) без входа (неустойчивое, или неустановившееся множество); состояние без выхода (поглощающее состояние, или ловушка); состояние без входа (неустойчивое, или неустановившееся состояние); эргодическая система; сечение случайного процесса; реализация случайного процесса за определенный промежуток времени; ступенчатая функция.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется случайным процессом? Приведите примеры.

Вероятностное модеяиропнне фннаисоео-жономнческой обласга

2. Сформулируйте свойство отсутствия последействия.

3. Какой случайный процесс называется марковским?

4. Какие случайные процессы называются дискретными (непрерывными)?

5. Что представляет собой граф состояний системы?

6. Дайте определение множествам без входа, множествам без выхода.

7. Приведите определение эргодической системы.

8. Что такое реализация случайного процесса за определенный промежуток времени?

Задания к §1

1.1. Рассмотрим систему 5, представляющую собой два окна в операционном зале банка: перюе - «Коммунальные платежи» и второе - «Операции по вкладам».

Так как система 5 состоит из двух «узлов» (два окна), то удобно воспользоваться двухиндексной нумерацией ее состояний,, обозначая состояние узлов «окно свободно» и «окно занято» соответственно индексами О и 1. Состояние системы 5 будем обозначать буквой s с двумя индексами, первый из которых является индексом состояний первого узла (первого окна «Коммунальные платежи»), а второй -второго узла (второго окна «Операции по вкладам»).

Тогда система 5 может пребывать в одном из следующих четырех состояний: s - оба окна свободны; Sg - первое окно свободно, а второе занято; s - первое окно занято, второе свободно; s„ - оба окна заняты.

Когда система состоит из двух узлов, ее состояния можно свести в матрицу, число строк которой равно числу состояний первого узла, а число столбцов - числу состояний второго узла.

В данном случае матрица состояния системы S 5 =

*00 *01 *10 *1

является квадратной второго порядка.

Обоснуйте, что процесс, протекающий в системе 5, является марковским дискретным случайным процессом.

Постройте граф состояний системы 5. При этом учтите, что перескок системы из состояния в состояние s,j означает, что свободные окна в одно и то же мгновение стали занятыми. Это в принципе возможно, но мало вероятно. Поэтому считается, что практически такой перескок невозможен и поэтому на графе стрелки s-sj не будет. То же относится к стрелкам 5,-»5цд, 5ц,->5,д, Хщ-Хр,.

Постройте какую-нибудь реализацию случайного процесса, протекающего в системе 5, приписав ее состояниям различные числовые значения.

Выясните, имеются ли у системы 5 состояния без входа, состояния без выхода, множества без входа, множества без выхода. Является ли система 5 эргодической?

Замечание 1.1. При выполнении задания 1.1 ориентируйтесь на пример 1.3.

1.2. Для обнаружения фальшивых купюр в кассе банка используется детектор валют SUPER SCAN. Естественный интерес представляют три его состояния:

• детектор исправен, но не эксплуатируется;

• детектор занят обнаружением фальшивых купюр;

• детектор не эксплуатируется по причине неисправности.

Будем предполагать, что детектор может выходить из строя только во время эксплуатации.

Охарактеризуйте процесс, протекающий в системе 5, в качестве которой выступает детектор SUPER SCAN. Постройте граф состояний системы 5 и укажите состояния и множества без входа и без выхода, если таковые существу-