ероятностное моделирояание финансово-экономической обяасти
Л/17]= 1,5 недели, а среднее квадратическое отклонение о[Т\ интервала Г равно 1 неделе.
7.2. В условиях задания 7.1 найти вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними заказами будет меньше двух недель.
7.3. Московская туристическая фирма «Тур-экспресс» формирует группы для туристических поездок в Австрию. Отправления групп из Москвы осуществляется по мере окончания их формирования. Статистическая обработка интервала времени между отправлениями групп дала следующие результаты: средний интервал времени между отправлениями двух соседних групп 2,5 (недели), дисперсия интервала между отправлениями двух соседних групп 2,7 (недели).
Требуется заменить поток отправлений групп нормированным потоком Эрланга k-ro порядка Э,, с примерно теми же характеристиками, найти егоинтенсивпость Д,, порядок k, плотность распределения /(0, исследовать и построить ее график, найти вероятность того, что интервал между двумя соседними отправлениями туристических групп будет больше одной и меньше трех недель.
Ответы к заданиям §7
7.1. Поток заказов можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга 2-го порядка Э2y (=2) с интенсивностью Д2) = 2/3 . jg
Плотность распределения fi2)(f) = ~te.
7.2. р(7;2)<2) = 0,404.
7.3. = 2; Л(2) =0,4 (отправления в неделю); 4(0=0.64--**; p(l<f <3)=0,5.
§8
Связь пуассоновских
потоков событий
с дискретными
марковскими
процессами
с непрерывным
временем
в данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций.
Между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем имеется тесная связь.
Пусть система 5 с дискретными состояниями s,s,, в которой протекает случайный процесс с непрерывным временем, находится в данный момент времени в состоянии S и может перейти в другое состояние spf) под воздей-
ероятностное модеяирояанне в финансово-экономической области
ствием какого-то пуассоновского потока событий Я. с интенсивностью A(f)- Это надо понимать следующим образом: как только наступает первое после момента времени событие потока Я„, то тут же система S переходит из состояния S. в состояние Sj. Таким образом, переход системы S из состояния S. в состояние Sj осуществляется под воздействием только первого после момента времени события потока П, тем не менее теоретически этот переход удобнее объяснять воздействием «всего» потока событий П, поскольку в этом случае оправдано рассмотрение интенсивности X(t) потока Я,
1ёорема 8.1. Плотность вероятности перехода A„(t) сиапемы S из состояния в состояние s. в момент времени t под воздействием пуассоновского потока Неравна интенсивности X{t) этого потока
Ш = Щ- (81)
Доказательство: Вероятность p~(t;At) того, что система S, находившаяся в момент времени t в состоянии Sp за промежуток времени от t до t+At перейдет из него в состояние s. (см. § 4) равна элементу вероятности p(t,At) появления события в пуассоновском потоке Я на элементарном участке от t до t+At (см. Определение 5.11). Но (см. (4.3))
р{Ш)«\-Ы, (Дг-»0), (8.2)
а (см. (6.9))
Piit-M) = Xit)M, (Af-»0). (8.3)
Поскольку левые части равенств (8.2) и (8.3) равны, то равны и правые
АДОД = Я(ОА, откуда получаем равенство (8.1). Теорема доказана.
Отмеченная выше связь между дискретными марковскими процессами с непрерывным временем и пуассонов-