Вероятностное модеякрояаиие я финансояо-экономической обяасти Но : шаии -иицишмьлИ»г - гг- у,.,., ... ..... :

нее случайным и, по первой теореме Чебышёва Закона больших чисел, приближается по вероятности к своему математическому ожиданию М[;ц]=Я*. А сам поток Э, таким образом, приближается к потоку, промежуток времени между любыми двумя соседними событиями которого равен и который, следовательно, является регулярным. Это свойство потоков Эрланга выявляет роль их порядков и как «меры последействия»: от полного отсутствия последействия при h= 1 (поток Эрланга первого порядка Э является простейшим) до жесткого последействия, порождаемого функциональной связью между моментами появления событий, при fe=oo (поток Эрланга приближается к регулярному потоку при -» ~ ).

Для упрощения моделирования реального потока с последействием его заменяют нормированным потоком Эр-

Первая теорема Чебышёва (KOTopjro иногда называют просто «Законом больших чисел») гласит (см., например, [3], с. 405):

Слзгчайная величина =£7] - среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин 7]., j=l,.... к, с математическим ожиданием т, сходится по вероятности при А -» оо к математическому ожиданию т.

Чебышёв Пафнутий Львович (1821-1894) - великий русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, адъюнкт (с 1853 г), экстраординарный академик Петербургской академии наук (с 1856 г.), ординарный академик Петербургской академии наук (с 1859 г.), в 1847-1882 гг. работал в Петербургском университете, профессор (с 1850 г), действительный член Артиллерийского отделения Военно-ученого комитета (с 1855 г), член ученого совета Министерства народного просвещения (1856-1873 гг.), действительный член Временного артиллерийского комитета (с 1859 г), иностранный член Парижской академии наук (с 1874 г, член-корреспондент - с 1860 г.), член Лондонского королевского общества (с 1877 г). Берлинской академии наук (с 1871 г), Болонской академии наук (с 1873 г.). Шведской академии наук (с 1893 г.); основные исследования относятся к математическому анализу, теории приближения функций полиномами, теории чисел, теории вероятностей, теории машин и механизмов, теории поверхностей, вариашюнному исчислению; характерная особенность творчества - тесная связь теории и практики.

Величина 7J„ сходится по вероятности к величине Я при А -» ~, если для любого сколь угодно малого числа е>0 вероятность

р(г<».-А"<е) события, состоящего в том, что Тф-Х <е,стремится к 1 при А -» сх> .

f 7. Потоки Пмкма к Эрлаига

ланга определенного порядка примерно с тем же математическим ожиданием и дисперсией интервала времени между соседними событиями.

Потоки Эрланга в классе потоков Пальма обладают тем преимуществом, что с их помощью можно сводить немарковские процессы к марковским.

Пример 7.1. Рассмотрим деятельность некоторого рекламного агентства. Для формулирования рекомендаций по улучшению его работы полезно обладать информацией о потоке поступления заказов на изготовление и размещение рекламы. Поэтому велись наблюдения, в частности, за интервалом времени между соседними поступлениями заказов, представляющим собой непрерывную случайную величину. Обозначим ее через Т. В результате статистической обработки этих данных были получены следующие характеристики случайной величины Т: среднее значение интервала времени Т между двумя соседними поступлениями заказов Л/[7]=1 неделя и среднее квадратическое отклонение а[7]=4 дня.

Заменим поток заказов нормированным потоком Эрланга Э, обладающим приближенно теми же характеристиками, найдем его интенсивность Я), порядок к и плотность распределения fkp); подсчитаем вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними заказами больше трех и меньше пяти дней.

Итак, для потока Э(4 имеем:

Af[f,4j]=l неделя, cr[7j4)]=4 дня = 4/7 недели. По формулам строк 2 и 5 для нормированного потока табл. 7.1

I. = Я=-Л -, = -=1 (заказ в неделю). М[Г.,] 1

По формулам строк 7 и 2 для нормированного потока табл. 7.1

Ш~ Гк

Вероятностное моделнрояанне в фннансово-акономическон обяастн

Но -,--...-......... i - i.-

откуда

г- -.4-2 "

= 3,067.

Так как k - порядок нормированного потока Эрланга, то k должно быть натуральным числом. Поэтому в качестве к естественно выбрать число 3, ближайшее натуральное к 3,067. Итак, к=3.

Таким образом, данный поток заказов можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга третьего порядка Э(3) с интенсивностью Дз, =1 заказ в неделю.

Для плотности распределения вероятностей случайной величины TJt, по формуле строки 3 для нормированного потока табл. 7.1 получим выражение

/(3)(0--gy--"-=13.5-.V, (>0).

Исследовав стандартным методом функцию з)(), найдем, что она определена на (О, , не является ни четной, ни нечетной и ни периодической, возрастает на промежутке (О, 2/3) и убывает на промежутке (2/3,-н»); точка t=2/3 является точкой максимума, а сам максимум равен та«/(3,(0=0,784; точки t,={2-yf2)/3 и t = (2+)/3 являются точками перегиба графика этой функции, ,!™Лз)(0= lwniyj3j(0=0, т.е. ось Ot является для графика функции .з)(0 горизонтальной асимптотой. На основании полученных данных построим график функции fait), который имеет следующий вид (см. рис. 7.5).

Вероятность р = р(3/7<Г(з, <5/7) того, что интервал времени между двумя соседними заказами больше 3-х и меньше 5-ти дней, равна по значению площади заштрихованной на рис. 7.5 криволинейной трапеции, которая вычисляется по формуле

Р=р(3/7<f<3, <5/7) = j/(3,(0 = 13,5- j\v.

3/7 3/7