Вероятностное моделнрояанне я финансово-экономической областн
4) Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (7.3), получим по определению среднеквадратическо-го отклонения равенство (7.4). Теорема доказана.
Определение 7.4. Закон распределения с плотностью, выражающейся формулой (7.1), называется законом Э 1ланга k-го порядка с параметром Я.
При k=l (когда поток Эрланга k-ro порядка является простейшим) закон Эрланга k-ro порядка с параметром Я (7.1) превращается в показательный закон f(t)=Ae- с параметром Я (см. (5,14)).
Обозначим через Я - интенсивность потока Эрланга k-TO порядка (среднее число событий потока Э в единицу времени). Тогда Я=1/Л/[Г] и, следовательно, по формуле (7.2)
Д.)=Я/*, fe = 1,2,3,... (7.6)
l = k\ty k = 1,2,3,.... (7.7)
Таким образом, интенсивность Я потока Эрланга k-ro порядка в k раз меньше интенсивности Я исходного простейшего потока. В то же время, как показывают сравнения формул (7.2) с (5.15), (7.3) с (5.16) и (7.4) с (5.17), математическое ожидание и дисперсия случайной величины rjj в k раз больше соответствующих характеристик случайной величины Т, а среднее квадратическое отклонение а[Г;]в -Jk раз больше среднего квадратического отклонения о[Т].
Формулы (7.1) - (7.4) выражают соответственно плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Ту через интенсивность Я исходного простейшего потока. Но можно указанные величины выразить через интенсивность Я самого потока Эу Для этого надо в указанные формулы вместо Я подставить его выражение через ЯУ по формуле (7.7); в результате получим:
§ 7. Потоки Пиьма и Эрлаига
MlW=, * = 1,2,3,..., Д7;.)]=тЛ-. * = 1,2,3,...,
Уменьшение интенсивности Я потока Эрланга -го порядка при увеличении его порядка k (см. формулу (7.6)) создает некоторое неудобство использования потоков Эу Чтобы интенсивность Яу при увеличении k оставалась постоянной, равной интенсивности Я исходного простейшего потока, достаточно уменьшить в k раз масштаб по временной оси Ot, т.е. уменьшить в k раз промежуток времени rjj между соседними событиями потока Эу Образованный таким образом поток называется нормированным потоком Эрланга к-го порядка и обозначается Э. Из равенства (7.6) находим интенсивность потока Э:
\i)=fi\ty= * = 1. ЯЗ,..., (7.8)
промежуток времени между любыми двумя соседними событиями потока Э,;)
(.)=(.) * = 1.ЯЗ,...; (7.9)
из (7.2) математическое ожидание случайной величины fy М[4]=1м[7;.)]=р * = 1,2,3,...; (7.10)
из (7.3) дисперсия случайной величины
Д(.,]=д7;.,]=Д7.,]=-=. *=1. 2. 3,(7.11)
Вероятностное модеянрование я финансово-экономической обяастн
ИЗ ЭТОГО равенства находим среднее квадратическое отклонение случайной величины f
оЩ,,]=,1Щ;]=, k = l,Z3..... (7.12)
Пусть 7;„(0 и fTt,(O = f(k)0:) соответственно интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины Г, а и /,1 (О = yj*)(О -интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины f(j). Используя определения интегральной функции распределения V,», (0=Р(ю < дифференциальной функции распределения как производной интегральной функции распределения, равенства (7.9) и (7.1), получим
d(kt)
=*4.(fe)=.yi.,(fe)=?.-".
Таким образом, плотность распределения случайной величины 7j, - интервала времени между любыми двумя соседними событиями в нормированном потоке Эрланга k-ro порядка Э(у-выражается формулой
i)(=e t>0, k=l,2,3..... (7.13)
(к-1)!
Из сравнения этой формулы с формулой (7.1) видно, что случайная величина TJ, распределена также по закону Эрланга k-ro порядка, но с параметром kX.
В формулах (7.10) - (7.13) А можно заменить в силу равенства (7.8) на .
По.}1ученные характеристики случайных величин Г для потока Эрланга *-го порядка Э и f,*, = k~T,y для нормированного потока Эрланга k-ro порядка Э, сведем в таблицу 7.1.