Например, поток Эрланга 1-го порядка Э = (e„y совпадает с исходным простейшим потоком 77 и, следовательно, простейший поток является потоком Эрланга 1-го порядка.
Приведем еше пример потока Эрланга 3-го порядка Эз=(ез), =(ез, Cg, вд,...), изображенного на рис. 7.2, где Гз, - промежуток времени между 1-м и 2-м событиями в потоке Эз; Т - промежуток времени между 2-м и 3-м событиями в потоке Э и т.д.; Т - промежуток времени между и-м е и и-н1)-м e. событиями в потоке Эу а Tj, Tj,... - промежутки времени соответственно между 1-м е, и 2-м е, 2-м и 3-м и т.д. событиями простейшего потока
Г, Т, Гз т, т.
Рис. 7.2
На рис. 7.3 изображен промежуток времени Т между соседними событиями и е„, в потоке Эрланга k-ro порядка Эу
Рис. 7.3
Поскольку для потока Эрланга k-ro порядка Э случайные величины Г,, Т ... - интервалы времени соответственно между 1-ми 2-м, 2-м и 3-м и т.д. событиями имеют одинаковое распределение, вместо этих случайных величин
Вероятностное моделнровянне ш финансояо-жононнческой обяастн
МОЖНО рассмотреть случайную величину Г - промежуток времени между любыми двумя соседними событиями.
Теорема7.1. Длл слойном величины Г - промежутка времени между любыми двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка, порожденном простейшим потоком с интенсивностью Л, 1) плотность распределения
2) математическое ожидание M[т,,\ = kX, А = 1,2,3,...;
3) дисперсия
D[7;,J = A/Я А = 1,2,3,...;
4) среднее квадратическое отклонение
ст[Г(»,]=л/*/Я, fe = l,2,3,....
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Доказательство: 1) Случайная величина T. является суммой k независимых случайных величин - промежутков времени между соседними событиями в исходном простейшем потоке
(см., например, рис. 7.4).
(7.5)
Найдем элемент вероятности fip)dt, представляющий собой вероятность того, что промежуток T. окажется в пределах элементарного участка (t, t+dt).
Для этого должно совместно произойти два независимых события. Одно из них состоит в том, что на участок длиной t попадут точно k-\ событий исходного простей-щего потока. Вероятность этого события согласно закону Пуассона (5.1) равна
*-"(А-1)! •
Другое событие состоит в том, что последнее k-e событие исходного простейщего потока должно попасть на элементарный участок (t, t+dt). Вероятность этого события по формуле (5.11) равна
Pi(dt)«l-dt.
Поскольку по теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность совместного появления указанных двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то
t)dt=pat)pm=0e--ш,
откуда и следует формула (7.1).
2) По теореме сложения математических ожиданий из равенств (7.5) и (5.15)
г;.,=М1Г.,]=М[Х7;]=ХА- =А-tl=ft/A.
Таким образом, равенство (7.2) доказано.
3) Аналогично по теореме сложений дисперсий из (7 5) и (5.16)
1=1 1=1 1=1 i=l
т.е. доказано равенство (7.3).