назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


34

Например, поток Эрланга 1-го порядка Э = (e„y совпадает с исходным простейшим потоком 77 и, следовательно, простейший поток является потоком Эрланга 1-го порядка.

Приведем еше пример потока Эрланга 3-го порядка Эз=(ез), =(ез, Cg, вд,...), изображенного на рис. 7.2, где Гз, - промежуток времени между 1-м и 2-м событиями в потоке Эз; Т - промежуток времени между 2-м и 3-м событиями в потоке Э и т.д.; Т - промежуток времени между и-м е и и-н1)-м e. событиями в потоке Эу а Tj, Tj,... - промежутки времени соответственно между 1-м е, и 2-м е, 2-м и 3-м и т.д. событиями простейшего потока

9 10

ее е,

Г, Т, Гз т, т.

Рис. 7.2

На рис. 7.3 изображен промежуток времени Т между соседними событиями и е„, в потоке Эрланга k-ro порядка Эу

Рис. 7.3

Поскольку для потока Эрланга k-ro порядка Э случайные величины Г,, Т ... - интервалы времени соответственно между 1-ми 2-м, 2-м и 3-м и т.д. событиями имеют одинаковое распределение, вместо этих случайных величин



Вероятностное моделнровянне ш финансояо-жононнческой обяастн

МОЖНО рассмотреть случайную величину Г - промежуток времени между любыми двумя соседними событиями.

Теорема7.1. Длл слойном величины Г - промежутка времени между любыми двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка, порожденном простейшим потоком с интенсивностью Л, 1) плотность распределения

2) математическое ожидание M[т,,\ = kX, А = 1,2,3,...;

3) дисперсия

D[7;,J = A/Я А = 1,2,3,...;

4) среднее квадратическое отклонение

ст[Г(»,]=л/*/Я, fe = l,2,3,....

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

Доказательство: 1) Случайная величина T. является суммой k независимых случайных величин - промежутков времени между соседними событиями в исходном простейшем потоке

(см., например, рис. 7.4).

(7.5)

t+dt



Найдем элемент вероятности fip)dt, представляющий собой вероятность того, что промежуток T. окажется в пределах элементарного участка (t, t+dt).

Для этого должно совместно произойти два независимых события. Одно из них состоит в том, что на участок длиной t попадут точно k-\ событий исходного простей-щего потока. Вероятность этого события согласно закону Пуассона (5.1) равна

*-"(А-1)! •

Другое событие состоит в том, что последнее k-e событие исходного простейщего потока должно попасть на элементарный участок (t, t+dt). Вероятность этого события по формуле (5.11) равна

Pi(dt)«l-dt.

Поскольку по теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность совместного появления указанных двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то

t)dt=pat)pm=0e--ш,

откуда и следует формула (7.1).

2) По теореме сложения математических ожиданий из равенств (7.5) и (5.15)

г;.,=М1Г.,]=М[Х7;]=ХА- =А-tl=ft/A.

Таким образом, равенство (7.2) доказано.

3) Аналогично по теореме сложений дисперсий из (7 5) и (5.16)

1=1 1=1 1=1 i=l

т.е. доказано равенство (7.3).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]