ероятнестное нодеяировяиие финансояо-экоионнческой области
Рассмотрим нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью A(t), некоторый промежуток времени длиной г>0, начинающийся с момента (и заканчивающийся, следовательно, в момент ig+r) и дискретную случайную величину X(tg; г) - число событий, наступающих в потоке за промежуток времени от до tg+r.
Теорема 6.1. В нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t):
1) случайная величина X(t г) распределена по закону Пуассона
РМе-, (т=0,1, 2,...), (6.1)
где pjt г) - вероятность того, что за промежуток времени [t fg+r] длиной тис началом в момент наступит в потоке точно т событий, а параметр Я представляет собой математическое ожидание ЩХ{1 г)] случайной величины X(t г), зависящее уже не только от т, но и от и выражающееся формулой
a=a{t;t)=M[X{t„,t)\= ] ЩЛ; (6.2)
2) дисперсия случайной величины X{t г)
£)[X(V r)]=fl; (6.3)
3) среднее квадратическое отклонение случайной величины X(tg, г)
<y[x(t„,t)]=Ia. (6.4)
В равенствах (6.3) и (6.4) математическое ожидание а определяется по формуле (6.2).
Доказательство: Относительно справедливости формул (6.1), (6.2) и (6.3) см., например, [3], с. 141, 136. Формула (6.4) в силу общего определения среднего квадратического отклонения следует из формулы (6.3). Ш
Из ЭТОЙ теоремы вытекает следствие, аналогичное следствию 5.1.
Следствие 6.1. В нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью Ait) вероятность того, что за промежуток времени от tg до tg+r:
1) не наступит ни одного события
p{X{t, r)=0)=p„{t„; r)=e-°; (6.5)
2) наступит менее k (k=\, 2,...) событий
p{X(f,;x)<k) = e- (* = 1, 2,...); (6.6)
3) наступит не менее k (k=\, 2,...) событий
p{X{tg;t)>k) = \-e- (* = 1, 2,...); (6.7)
4) наступит хотя бы одно событие
p{X{t r)>i)=l-e-°, (6.8)
где математическое ожидание а в формулах (6.5)-(6.8) определяется формулой (6.2).
Доказательство дословно повторяет доказательство следствия 5.1.
Определение 6.2. Элементом вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке называется вероятность p{t М) появления события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени от tg до tg+At.
Разница в определениях (5.11) и (6.2) элементов вероятности появления события соответственно в простейшем
Вероятности» моделирование я фннансояо-мононической областн
И В нестационарном пуассоновском потоках состоит в том, что элемент вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке зависит не только от длины промежутка At, как в случае простейшего потока, но и от его начала t.
Теорема 6.2. Для элемента вероятности появления события за элементарный промежуток времени от до t+M в нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью ACt) имеет место приближенная формула
p,{t,;M)l{t„)At, (А?->0). (6.9)
Доказательство: Так же, как и в доказательстве теоремы 5.2, в силу формулы (6.8)
й(*о;Д)=1-е-", (6.10)
где по формуле (6.2) с заменой в ней г на At
a = a{ta;At)= j k{t)dt.
Отсюда видно, что а=а{1 At)Q при AtQ.
Разлагая е" по степеням а и пренебрегая степенями высшего порядка малости по сравнению с а, из (6.10) получим
р,(о;А?) = а= J k{t)dt, /itO. (6.11)
Так как tg<t<tg+At, то t при AtOn, следовательно (в силу непрерывности /?(0), 4t) -A(t при 0. Поэтому из (6.11)
pit„.йt)Цt,) j dt = k{t,)M, МО. Итак, приближенное равенство (6.9) доказано