назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [ 29 ] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


29

ероятнестное нодеяировяиие финансояо-экоионнческой области

Рассмотрим нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью A(t), некоторый промежуток времени длиной г>0, начинающийся с момента (и заканчивающийся, следовательно, в момент ig+r) и дискретную случайную величину X(tg; г) - число событий, наступающих в потоке за промежуток времени от до tg+r.

Теорема 6.1. В нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t):

1) случайная величина X(t г) распределена по закону Пуассона

РМе-, (т=0,1, 2,...), (6.1)

где pjt г) - вероятность того, что за промежуток времени [t fg+r] длиной тис началом в момент наступит в потоке точно т событий, а параметр Я представляет собой математическое ожидание ЩХ{1 г)] случайной величины X(t г), зависящее уже не только от т, но и от и выражающееся формулой

a=a{t;t)=M[X{t„,t)\= ] ЩЛ; (6.2)

2) дисперсия случайной величины X{t г)

£)[X(V r)]=fl; (6.3)

3) среднее квадратическое отклонение случайной величины X(tg, г)

<y[x(t„,t)]=Ia. (6.4)

В равенствах (6.3) и (6.4) математическое ожидание а определяется по формуле (6.2).

Доказательство: Относительно справедливости формул (6.1), (6.2) и (6.3) см., например, [3], с. 141, 136. Формула (6.4) в силу общего определения среднего квадратического отклонения следует из формулы (6.3). Ш



Из ЭТОЙ теоремы вытекает следствие, аналогичное следствию 5.1.

Следствие 6.1. В нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью Ait) вероятность того, что за промежуток времени от tg до tg+r:

1) не наступит ни одного события

p{X{t, r)=0)=p„{t„; r)=e-°; (6.5)

2) наступит менее k (k=\, 2,...) событий

p{X(f,;x)<k) = e- (* = 1, 2,...); (6.6)

3) наступит не менее k (k=\, 2,...) событий

p{X{tg;t)>k) = \-e- (* = 1, 2,...); (6.7)

4) наступит хотя бы одно событие

p{X{t r)>i)=l-e-°, (6.8)

где математическое ожидание а в формулах (6.5)-(6.8) определяется формулой (6.2).

Доказательство дословно повторяет доказательство следствия 5.1.

Определение 6.2. Элементом вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке называется вероятность p{t М) появления события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени от tg до tg+At.

Разница в определениях (5.11) и (6.2) элементов вероятности появления события соответственно в простейшем



Вероятности» моделирование я фннансояо-мононической областн

И В нестационарном пуассоновском потоках состоит в том, что элемент вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке зависит не только от длины промежутка At, как в случае простейшего потока, но и от его начала t.

Теорема 6.2. Для элемента вероятности появления события за элементарный промежуток времени от до t+M в нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью ACt) имеет место приближенная формула

p,{t,;M)l{t„)At, (А?->0). (6.9)

Доказательство: Так же, как и в доказательстве теоремы 5.2, в силу формулы (6.8)

й(*о;Д)=1-е-", (6.10)

где по формуле (6.2) с заменой в ней г на At

a = a{ta;At)= j k{t)dt.

Отсюда видно, что а=а{1 At)Q при AtQ.

Разлагая е" по степеням а и пренебрегая степенями высшего порядка малости по сравнению с а, из (6.10) получим

р,(о;А?) = а= J k{t)dt, /itO. (6.11)

Так как tg<t<tg+At, то t при AtOn, следовательно (в силу непрерывности /?(0), 4t) -A(t при 0. Поэтому из (6.11)

pit„.йt)Цt,) j dt = k{t,)M, МО. Итак, приближенное равенство (6.9) доказано

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [ 29 ] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]