Пример 5.1. Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компании, ведущей дела по страхованию автомобилей, важно обладать информацией о процессе поступления в компанию требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами.

Наблюдение за работой компании в предшествующий период показало, что число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени длиной т не зависит от момента времени, с которого начинается отсчет промежутка т, а зависит только от его продолжительности; требования в компанию в любые два непересекающихся интервала времени поступают независимо; в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию. Ожидаемое число требований, посту-паемых в компанию за неделю, равно 2.

Какова вероятность того, что:

1) за месяц в компанию поступит 7 требований;

2) за месяц в компанию поступит менее 7 требований;

3) за месяц в компанию поступит не менее 7 требований;

4) за месяц в компанию не поступит ни одного требования;

5) за две недели в компанию поступит хотя бы одно требование;

6) интервал времени между двумя соседними требованиями будет меньше двух дней;

7) интервал времени между двумя соседними требованиями будет не менее двух дней?

Обозначим поток требований по выплатам, поступающих в компанию, через П.

По условию примера число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени т не зависит от начала этого промежутка, а зависит лишь от его длины. Поэтому поток Я будет стационарным.

t ш финансово-экономическом областн

Поскольку требования за любые два непересекающиеся интервала времени поступают в компанию независимо, то поток Я обладает свойством отсутствия последействия.

Так как в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию, то поток Я ординарен.

Таким образом, поток Я является стационарным пуас-соновским, т.е. простейшим потоком.

В условиях данной ситуации за единицу времени естественно принять неделю.

По условию примера интенсивность А потока Я равна двум требованиям в неделю.

Пусть Х{т) - число требований по выплатам, поступающих в компанию за промежуток г (недель), иТ- промежуток времени между любыми двумя соседними требованиями по выплатам.

После проведенной математической формализации мы можем ответить на поставленные вопросы.

1) В первом вопросе г=1 месяц=4 недели и тп=7. Тогда вероятность (4) поступления в компанию за месяц семи требований по выплатам вычисляем по закону распределения Пуассона (см. 2-ю строку табл. 5.1):

Р7(4)=в--0.143.

2) Вероятность р(Х(4)<7) поступления в компанию менее семи требований по выплатам за месяц вычисляем по формуле в 4-й строке табл. 5.1:

p(X(4)<7)=e-t = 0,321. S ml

3) Вероятность р(Х{4)7) поступления в компанию не менее семи требований по выплатам за месяц найдем по формуле в 5-й строке табл. 5.1:

р(Х(4)>7)=1-р(Х(4)<7)=1-0,321=0,679.

i 5. Пуассонтскин стационарный (простейший) поток событий

- -:-,-и--йи ..... 1, . -

4) В четвертом вопросе г=1 (неделя). Вероятность(1) того, что за неделю в компанию не поступит ни одного требования по выплатам вычисляем по формуле в 6-й строке табл. 5.1:

р„(1) = е-=0,135.

5) В пятом вопросе т=2 (недели). Вероятность р(Х(2)>1) поступления в компанию за две недели хотя бы одного требования по выплатам вычисляем по формуле в 6-й строке табл. 5.1:

р(А-(2)>1)=-е-=0,981.

6) Вероятность р{Т<2/7) того, что Г меньше двух дней, вычисляем по формуле во 2-й строке табл. 5.2 при (=2 дня=2/7 недели:

p(r<2/7)=f (2/7)=-=0,393 •

7) Вероятностьр(Т>2/7) того, что 7не меньше двух дней, находим по формуле в 3-й строке табл. 5.2 при t=2 дня =2/7 недели:

р(Т > 2/7) = е"" = 0,607 .

Краткие выводы

Пуассоновский поток событий - это поток, обладающий двумя свойствами: ординарностью и отсутствием последействия.

Пуассоновский стационарный поток - это простейший поток с точки зрения его математического описания.

Одной из основных (неслучайных) характеристик потока является его интенсивность или синонимически средняя плотность.