Вероятностное моделирование в финансово-экономической области
Первый интеграл в правой части этого равенства проинтегрируем по частям: положим, u=f, v=-e-, du=2tdt, dp=Ae~dt, тогда
]ef{t)dt = i{--)\ + 2\te-dt = 2k-\t}-=2X-\ (5.19) о "о о
По определению дифференциальной функции распределения f(t), используя (5.13), получим
Л- J f{t)dt = A-f (Ol = A-(l-e- )I = A- • (5-20)
Подставляя (5.19) и (5.20) в (5.18), завершим доказательство формулы (5.16).
Формула (5.17) следует из (5.16) по определению среднего квадратического отклонения о[Г]=.Ь(Г).
Следствие 5.2. Вероятность р (T>t) того, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t, вычисляется по формуле
p{T>t)=e- (f>0). (5-21)
Доказательство: События «7<> и <iT>t» противоположны. Поэтому p{T<t)+p{T>t)=\. Отсюда и из формулы (5.13) получаем требуемое равенство (5.21).
Определение 5.12. Закон распределения с плотностью, задаваемой формулой (5.14), называется показательным (или жспоненциальным), а величина А называется параметром этого закона.
Символические графики интегральной и дифференциальной функций распределения непрерывной случайной величины Т представлены на рис. 5.4 и 5.5 соответственно и могут быть проинтерпретированы следующим образом. На рис. 5.4: величина вероятности того, что значение про-
S 5. Пуассоновский стационарный (про
ин) поток событий
межутка времени Т между двумя соседними событиями в потоке окажется в интервале (О, а), равна г/. На рис. 5.5: величина вероятности того, что значение промежутка времени 7" между двумя соседними событиями в потоке окажется в интервале (а, Ъ), равна площади криволинейной трапеции аАВЬ.
Рис. 5.4.
I График интегральной функции распределения F{t)
Рис. 5.5.
График дифференциальной функции распределения f(t)
Замечание 5.3. Пусть &- случайная величина, представляющая собой промежуток времени от некоторого произвольного момента времени t, никак не связанного с
Вероятностное модеяирояяиие в финансово-нономичесиой обяастн
моментами появления событий в потоке, до момента первого наступившего после момента t события потока. Можно доказать, что показательное распределение случайной величины Г эквивалентно закону распределения случайных величин Г и г? (см., например, [3]).
Сведем формулы (5.13) - (5.17), (5.21) в таблицу 5.2.
Таблица 5.2. Характеристики случайной величины Т
| Характеристики | Формулы | № формулы в тексте |
| Интенсивность простейшего потока | | |
| Интегральная функция распределения случайной величины 7" | F(t)=p{T<t)=\-e-\ (*>0) | (5.13) |
| Вероятность того, что промежуток времени Г между двумя соседними событиями в потоке будет не меньше t | (t>Q) | (5.21) |
| Дифференциальная функция распределения случайной величины Т (т.е. плотность распределения) - показательный закон распределения с параметром X | (f>0) | (5.14) |
| Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Т | | (5.15) |
| Дисперсия случайной величины Т | | (5.16) |
| Среднее квадратическое отклонение случайной величины Т | <т[Г]=Л- | (5.17) |