назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [ 25 ] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


25

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Первый интеграл в правой части этого равенства проинтегрируем по частям: положим, u=f, v=-e-, du=2tdt, dp=Ae~dt, тогда

]ef{t)dt = i{--)\ + 2\te-dt = 2k-\t}-=2X-\ (5.19) о "о о

По определению дифференциальной функции распределения f(t), используя (5.13), получим

Л- J f{t)dt = A-f (Ol = A-(l-e- )I = A- • (5-20)

Подставляя (5.19) и (5.20) в (5.18), завершим доказательство формулы (5.16).

Формула (5.17) следует из (5.16) по определению среднего квадратического отклонения о[Г]=.Ь(Г).

Следствие 5.2. Вероятность р (T>t) того, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t, вычисляется по формуле

p{T>t)=e- (f>0). (5-21)

Доказательство: События «7<> и <iT>t» противоположны. Поэтому p{T<t)+p{T>t)=\. Отсюда и из формулы (5.13) получаем требуемое равенство (5.21).

Определение 5.12. Закон распределения с плотностью, задаваемой формулой (5.14), называется показательным (или жспоненциальным), а величина А называется параметром этого закона.

Символические графики интегральной и дифференциальной функций распределения непрерывной случайной величины Т представлены на рис. 5.4 и 5.5 соответственно и могут быть проинтерпретированы следующим образом. На рис. 5.4: величина вероятности того, что значение про-



S 5. Пуассоновский стационарный (про

ин) поток событий

межутка времени Т между двумя соседними событиями в потоке окажется в интервале (О, а), равна г/. На рис. 5.5: величина вероятности того, что значение промежутка времени 7" между двумя соседними событиями в потоке окажется в интервале (а, Ъ), равна площади криволинейной трапеции аАВЬ.

Рис. 5.4.

I График интегральной функции распределения F{t)

Рис. 5.5.

График дифференциальной функции распределения f(t)

Замечание 5.3. Пусть &- случайная величина, представляющая собой промежуток времени от некоторого произвольного момента времени t, никак не связанного с



Вероятностное модеяирояяиие в финансово-нономичесиой обяастн

моментами появления событий в потоке, до момента первого наступившего после момента t события потока. Можно доказать, что показательное распределение случайной величины Г эквивалентно закону распределения случайных величин Г и г? (см., например, [3]).

Сведем формулы (5.13) - (5.17), (5.21) в таблицу 5.2.

Таблица 5.2. Характеристики случайной величины Т

Характеристики

Формулы

№ формулы в тексте

Интенсивность простейшего потока

Интегральная функция распределения случайной величины 7"

F(t)=p{T<t)=\-e-\ (*>0)

(5.13)

Вероятность того, что промежуток времени Г между двумя соседними событиями в потоке будет не меньше t

(t>Q)

(5.21)

Дифференциальная функция распределения случайной величины Т (т.е. плотность распределения) - показательный закон распределения с параметром X

(f>0)

(5.14)

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Т

(5.15)

Дисперсия случайной величины Т

(5.16)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Т

<т[Г]=Л-

(5.17)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [ 25 ] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]