Таблица 5.1. Характеристики случайной величины Х(т)
| Характеристики | Формулы | № формулы в тексте |
| Интенсивность простейшего потока | | |
| Закон распределения Пуассона случайной величины Х{т) | (m=0,l,2....); | (5.1) |
| Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке не наступит ни одного события | Ро(т)=р(ад=0)=е-* | (5.7) |
| Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит менее k 2, 3,...) событий | р(Х(т)<*)=е-М: (*=1,2,3,...) | (5.8) |
| Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит не менее k (Ы, 2, 3,...) событий | р(х(г)>*)=1-«-м: (*=1.2,3,...) | (5.9) |
| Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит хотя бы одно событие | р(Х{г)>1)=1-е-* | (5.10) |
| Элемент вероятности появления события | р,(д)=я-д,(д->о) | (5.11) |
| Математическое ожидание случайной величины X{f) | М[Х(т)]=Лт | (5.2) |
| Дисперсия случайной величины X{f) | С[Х(т)]=Лг | (5.2) |
| Среднее квадратическое отклонение величины Х{т) | <т[Х(т)]=>/а7 | (5.3) |
Вероятностное моделирование • финансово-экономической областн
Аналитические выражения основных характеристик случайной величины Г даются в следующей теореме.
Теорема 5.3. В простейшем потоке с интенсивностью Л для случайной величины Т:
1) интегральная функция распределения F{t)=p{T<t), {t>0), т.е. вероятность p{T<t) события *T<t», состоящего в том, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями будет меньше t, равна 1-еЛ т.е.
F{t) = \-e-, (f >0); (5.13)
2) дифференциальная функция распределения (или плотность распределения)
f{t)=F\t) = Xe- (f>0); (5.14)
3) математическое ожидание (средний интервал времени между двумя соседними событиями)
Т=М{Т]=к-\ (5.15)
4) дисперсия
D{J)=k-\ (5.16)
5) среднее квадратическое отклонение
ст[Г] = А-. (5.17)
Доказательство: Пусть - момент наступления какого-либо события в рассматриваемом потоке. От точки отложим вправо временной участок длины f>0 (см. рис. 5.3). Собьггие, состоящее в том, что интервал Г будет меньше t, эквивалентно событию, состоящему в том, что на участке (t +0 появится хотя бы одно событие. Поэтому вероятности этих событий равны: p{T<t)=p{X{t)>.\) и, следовательно, в силу (5.10) получаем формулу (5.13) для f>0.
% 5. Пуассоновский crai
ый (про
I потоп совытмй
Если =0, то событие «7<0» является заведомо ложным и поэтому его вероятность F(0=p(7<0)=0. Правая часть равенства (5.13) также равна нулю при =0. Значит, формула (5.13) справедлива и при =0.
to t,+t
Рис. 5.3
Формула (5.14) получается дифференцированием (по t) формулы (5.13).
По определению математического ожидания непрерывной случайной величины (см., например, [5], с. 121)
M[T]J\tf{t)dt. о
Подставляя сюда найденное выражение f{t) по формуле (5.14), получим
Проинтегрируем по частям: положим, u=t, р=-е~; тогда dudt, dfAedt, следовательно, имеем
M[T]=]udv = tA]-]vdu=t{-e-")\+]e*dt =
=-limte-"-A-V"=A-,
t- о
и равенство (5.15) доказано.
По определению дисперсии непрерывной случайной величины (см., например, [5], с. 122), используя (5.15), будем иметь
D[T]=]it-Mlt]yfit}dt =]f-mdt-2X-+X-]fit)dt. (5.18)