назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [ 24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


24

Таблица 5.1. Характеристики случайной величины Х(т)

Характеристики

Формулы

№ формулы в тексте

Интенсивность простейшего потока

Закон распределения Пуассона случайной величины Х{т)

(m=0,l,2....);

(5.1)

Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке не наступит ни одного события

Ро(т)=р(ад=0)=е-*

(5.7)

Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит менее k

2, 3,...) событий

р(Х(т)<*)=е-М: (*=1,2,3,...)

(5.8)

Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит не менее k (Ы, 2, 3,...) событий

р(х(г)>*)=1-«-м:

(*=1.2,3,...)

(5.9)

Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит хотя бы одно событие

р(Х{г)>1)=1-е-*

(5.10)

Элемент вероятности появления события

р,(д)=я-д,(д->о)

(5.11)

Математическое ожидание случайной величины X{f)

М[Х(т)]=Лт

(5.2)

Дисперсия случайной величины X{f)

С[Х(т)]=Лг

(5.2)

Среднее квадратическое отклонение величины Х{т)

<т[Х(т)]=>/а7

(5.3)



Вероятностное моделирование • финансово-экономической областн

Аналитические выражения основных характеристик случайной величины Г даются в следующей теореме.

Теорема 5.3. В простейшем потоке с интенсивностью Л для случайной величины Т:

1) интегральная функция распределения F{t)=p{T<t), {t>0), т.е. вероятность p{T<t) события *T<t», состоящего в том, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями будет меньше t, равна 1-еЛ т.е.

F{t) = \-e-, (f >0); (5.13)

2) дифференциальная функция распределения (или плотность распределения)

f{t)=F\t) = Xe- (f>0); (5.14)

3) математическое ожидание (средний интервал времени между двумя соседними событиями)

Т=М{Т]=к-\ (5.15)

4) дисперсия

D{J)=k-\ (5.16)

5) среднее квадратическое отклонение

ст[Г] = А-. (5.17)

Доказательство: Пусть - момент наступления какого-либо события в рассматриваемом потоке. От точки отложим вправо временной участок длины f>0 (см. рис. 5.3). Собьггие, состоящее в том, что интервал Г будет меньше t, эквивалентно событию, состоящему в том, что на участке (t +0 появится хотя бы одно событие. Поэтому вероятности этих событий равны: p{T<t)=p{X{t)>.\) и, следовательно, в силу (5.10) получаем формулу (5.13) для f>0.



% 5. Пуассоновский crai

ый (про

I потоп совытмй

Если =0, то событие «7<0» является заведомо ложным и поэтому его вероятность F(0=p(7<0)=0. Правая часть равенства (5.13) также равна нулю при =0. Значит, формула (5.13) справедлива и при =0.

to t,+t

Рис. 5.3

Формула (5.14) получается дифференцированием (по t) формулы (5.13).

По определению математического ожидания непрерывной случайной величины (см., например, [5], с. 121)

M[T]J\tf{t)dt. о

Подставляя сюда найденное выражение f{t) по формуле (5.14), получим

Проинтегрируем по частям: положим, u=t, р=-е~; тогда dudt, dfAedt, следовательно, имеем

M[T]=]udv = tA]-]vdu=t{-e-")\+]e*dt =

=-limte-"-A-V"=A-,

t- о

и равенство (5.15) доказано.

По определению дисперсии непрерывной случайной величины (см., например, [5], с. 122), используя (5.15), будем иметь

D[T]=]it-Mlt]yfit}dt =]f-mdt-2X-+X-]fit)dt. (5.18)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [ 24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]