назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


23

Вермтностное моделнроинне фннтсоео-жономнческой обмстн .-.lib Jgщ ,мltшmл.яЯmmlmшmшmшшmmшшшmшшшшшшш-

межуток г, а А - среднее число событий за единицу времени, то

а=ЛГ1Х(т)]=Ат. (5.5)

Также известно (см., например, [3], с. 136), что параметр а пуассоновского распределения равен дисперсии D[X{t}]

С[Х(т)1=а=Ат. (5.6)

Подставляя (5.5) в (5.4), получим (5.1). Из (5.5) и (5.6) следует (5.2). Равенство (5.3) вытекает из определения среднего квадратического отклонения 0[Х(т)].

Следствие 5.1. Для простейшего потока с интенсивностью А имеют место следующие утверждения:

1) Вероятность того, что за промежуток времени т не наступит ни одного события, {Х{т)=0, т.е. участок т окажется свободным)

р(Х(т)=0)=е-*; (5.7)

2) Вероятность того, что за промежуток времени т наступит менее k {k=\, 2, 3,...) событий (Х{т)<к)

р{Х{г)<к) = е-Х (* = 1- 2 3. -); (5.8)

3) Вероятность того, что за промежуток времени т наступит не менее к (fe=l, 2,3,...) событий (Х{х)>к)

р[Х{с)>к) = \-е-}Щ-, (к=\, 2, 3,...); (5.9)

4) Вероятность того, что за интервал времени т наступит хотя бы одно событие, (Х(г)>1, т.е. временной участок г окажется занятым)

р(Х(т)>1)=1-е-"; (5.10)



Теорема сложения вероятностей гласит: вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий [1], [5], [7].

Два события называются взаимно противоположными, если они не совместны и образуют полную группу [1], [5], [7].

5) Интенсивность потока А равна математическому ожиданию М1Х{1)] случайной величины Х(1).

Доказательство: Равенство (5.7) следует из распределения Пуассона (5.1) при т=0; таким образом, р(Х(г)=0)=

Так как событие «за промежуток времени г в потоке наступит менее k событий» представляет собой сумму k несовместных событий «за промежуток времени т в потоке наступит точно т событий», т=1,2,3,k-i; k=i, 2,то по теореме сложения вероятностей и формуле (5.1) получим

р(ад<*) = 1р„(г) = е-Х

и равенство (5.8) доказано.

Поскольку события «за промежуток времени г в потоке наступит менее k событий» и «за промежуток времени т в потоке наступит не менее k событий» взаимно противоположны 2, то сумма их вероятностей равна 1. Поэтому р(Х(т)>к)=1-р{Х{т)<к), откуда с учетом (5.8) следует (5.9).

Равенство (5.10) следует из равенства (5.9) при k=i. Наконец, утверждение 5) вытекает из формулы (5.2) прит=1.

Замечание 5.1. Формулу (5.7) можно получить и из формулы (5.8) при k=i., поскольку событие «Х(т)=0» есть ни что иное, как событие «Х(г)<1».

ОпределениеЪЛ\.. Элементом вероятности появления события в простейшем потоке называется вероятность р{М) появления события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени М.



Вероятностное модепиромиие в фшаисово-моиоинческой овяасти

Теорема 5.2. Для элемента вероятности появления события справедлива следующая приближенная формула

р,(А)=Л Ai, (А->0). (5.U)

Доказательство: Очевидно, что элемент вероятности Pj(A) появления события является вероятностью p{X{At)i) того, что временной участок не будет пустым. Следовательно, по формуле (5.10) с заменой в ней т на At будем иметь

д(Д)=1-е-. (5.12)

Разлагая е~ в ряд по степеням (-АДГ):

и отбрасывая слагаемые высшего порядка малости по сравнению с А-ДГ (начиная с третьего), получим

e-=l-Л-Дf (ЛгО).

Подставляя это приближенное равенство в (5.12), завершаем доказательство формулы (5.11).

Замечание 5.2. Правую часть формулы (5.10) в общем случае нельзя по аналогии с формулой (5.11) преобразовать в выражениеАт, поскольку в общем случает - длина произвольного временного промежутка, в то время как в формуле (5.11) ДГ - длина достаточно малого временного промежутка.

Для лучшей обозримости полученные формулы, характеризующие случайную величину Х{т), сведем в таблицу 5.1.

Другой важной характеристикой простейшего потока является непрерывная случайная величина Т - промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]