назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


22

На рис. 5.2 т, и - длины временных непересекающихся промежутков. Отсутствие последействия показывает, что последовательные события в таком потоке наступают независимо друг от друга

Регулярный поток свойством отсутствия последействия не обладает, поскольку последействие в нем порождается его регулярностью.

Определение 5.5. Поток событий называется ординарным, если вероятностью наступления за элементарный (малый) промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события.

Ординарность потока означает, что события в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.

Определение 5.6. Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала.

Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, т.е. не изменяются с течением времени.

Определение 5.7. Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия и ординарности, называется пуассоновским

Пуассон Симеон Дени (1781-1840) - французский математик, механик и физик, профессор Политехнической школы в Париже (с 1806 г.), член Института Франции и Бюро долгот (с 1812 г.), член Совета Французского университета (с 1816 г.), наблюдатель за преподаванием математики во всех колледжах Франции (с 1820 г), почетный член Петербургской академии наук (с 1826 т.); получил выдающиеся результаты в области теории рядов, теории неопределенных интегралов, вариационного исчисления, теории вероятностей, математической физики, теоретической механики; предложил (названный впоследствии его именем) один из важнейших законов распределения случайных величин в теории вероятностей.



Верттностни моделирование в финансово-экономической областн

Определение 5.8. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.

Простейший поток является самым простым с точки зрения его математического описания. Регулярный поток с кажущимся простым физическим описанием простейшим не является, так как обладает последействием.

Определение 5.9. Среднее число событий потока, наступающих в единицу времени, называется интенсивностью или средней плотностью потока.

Интенсивность потока Я будем обозначать через тП (сокращение от Intensity (англ.) - интенсивность).

Интенсивность простейшего потока (в силу его стационарности) не изменяется с течением времени: inn=A=const. Интенсивность нестационарного пуассоновского потока зависит от времени t: тП=Х(1).

Определение 5.10. Несколько потоков называются сравнимыми по интенсивности, если интенсивность ни одного из них не превосходит суммы интенсивностей остальных.

Полезная роль простейшего потока состоит в том, что суммарный поток, образуемый взаимным наложением достаточно большого числа сравнимых по интенсивности потоков, каждый из которых обладает свойством стационарности, ординарности и последействия, можно приближенно считать простейшим, и тем точнее, чем больше число слагаемых потоков.

Рассмотрим простейший (т.е. стационарный пуассоновский) поток с интенсивностью A=const. Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина Х{т), представляющая собой число событий, наступающих за промежуток времени т. Таким образом, случайная величина Х{т) может принимать значения m=i, 2.....

Пусть pj(t) - веро5Ггность того, что за промежуток времени г в потоке наступят точно т событий.



Теорема 5.1. В простейшем потоке с интенсивностью Я случайное число событий Х{т), наступающих за проме-жг ток времени т, распределено по закону Пуассона:

(5.1)

его математическое ожидание (т.е. среднее число событий, наступающих в потоке за промежуток т)

Х{х)=М\Х{г)\ и дисперсия В\х{т)\ равны кг.

М[х(т)] = r{x{t)\ = At , (5.2)

а среднее квадратическое отклонение

X(t)]=Va .

(5.3)

Доказательство: В курсах теории вероятностей для высших учебных заведений доказывается (см., например, [3], с. 138-141), что вероятностьр„{т) наступления точно т событий в простейшем потоке за временной промежуток г выражается формулой Пуассона

P™W=-«"" (« = 0.1, 2,...),

(5.4)

где а - математическое ожидание М[Х(т)] случайной величины Х(т).

Так как в данном случае математическое ожидание М[Х(т)] есть среднее число событий, наступающих за про-

Математическое ожидание (или среднее значение} случайной величины - одна из важнейших характеристик ее положения. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всевозможных ее значений на вероятности, с которыми она эти значения может принимать [1]. [5], [7].

Дисперсия случайной величины определяет ее рассеяние. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания [1], [5], [7].

Среднее квадратическое отклонение является еще одной характеристикой рассеяния случайной величины; она равна квадратному корню из дисперсии [1], [5], [7].

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]