Верощ-ностное модеянрованне фннансово-экономнческой областн
Система (4.13), представляющая собой однородную линейную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными у,, yj и параметром А, всегда имеет своим решением нулевое решение у,=0, уО, которое, однако, не удовлетворяет условиям нашей задачи, ибо в этом случае Pj(f)=0, p{t)=0 не удовлетворяют начальному условию (4.10). Ненулевое решение системы (4.13) существует тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю
2+Х -1 -2 3+К
= 0.
Это уравнение (относительно А) называется характеристическим уравнением системы (4.11).
Раскрыв определитель в левой части характеристического уравнения, получим квадратное уравнение относительно А
5.-1-4 = 0,
корни которого можно найти по теореме Виета
Подставив А=А, = -4 в систему (4.13) и решив ее, найдем У2"-2у,. Так как у, - свободное неизвестное, то ему можно придать любое числовое значение. Положим у,=1. Тогда у=-2. Подставив найденные значения А=А, = -4, у,=1, У2-2 в (4.12), получим
pW(0=e-,p,"=-2-. (4.14)
• Виета Франсуа (1540-1603) - французский математик (по призванию) по профессии юрист; преобразовал алгебру как учение об алгебраических уравнениях, основанных на буквенных значениях; занимался различными задачами геометрии, приводящими к уравнениям 2-й и 3-й степеней; предложил ряд способов решений сферических треугольников; его математические сочинения были изданы посмертно в 1646 г.
i 4. Днскретнын маркоеский случайный процесс с нелрерыаиым аременем
Аналогично, подставив А=А,= -1 в систему (4.13) и решив ее, найдем )2=у,, откуда, полагая у=1, получим yi-Подставим А =А,= - 1, yjTil (412), в результате получим
рИ(0=е-,рИ(0=«-- (4.15)
Из (4.14) и (4.15) составляем общее решение системы (4.11)
Mt)=C,f\t)+cJ\t)=C,e+C-
(4.16)
где с, и - произвольные константы.
Для того чтобы найти частное решение системы (4.11), удовлетворяющее начальным условиям
а(0)=1, ft(0) = 0,
(4.17)
надо найти соответствующие значения констант C и С. Из (4.16) и (4.17)
p,(0) = C+C, = l, a(0) = -2C,+Q=0,
откуда с,=1/3, С2=2/3. Подставив эти значения с, и в (4.16), получим искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.17)
(4.18)
Для нахождения функции pit) можно воспользоваться нормировочным условием (4.1), из которого
Рз(0 = «"-«-+1-
(4.19)
Замечание 4.1. Функцию рр) можно было бы найти и из третьего уравнения системы (4.9), подставив в его
Вероятностное моделнрование в финансово-экономической обяасти
правую часть полученное выражение функции рЦ) и затем проинтегрировав его.
Можно убедиться в том, что найденные функции (4.18) и (4.19) являются вероятностными, т.е. что 0<р ()<1, 2=1, 2,3, t>Q.
Из (4.18) и (4.19) подсчитаем вероятность состояний системы S в момент (=1
р,(1)=е--не-=0,252,
р,(1)=-в--нв-=0,234, Рз(1) = 1-0,252-0,234 = 0,514.
Итак, при заданных размеченном графе состояний счетчика банкнот TECHNITROL 940 на рис.4.3 и начальных условиях (4.10) вероятность того, что в момент t=\ счетчик
- исправен, но не эксплуатируется, приближенно равна 0,252;
- исправен и находится в состоянии эксплуатации, приближенно равна 0,234;
- не эксплуатируется по причине неисправности, приближенно равна 0,514.
Таким образом, качество счетчика на момент (=1 оставляет желать лучшего. В
Краткие выводы
Система S, в которой протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем, может перескакивать из состояния в состояние в любой случайный момент времени.
Вероятность p.(t) i-ro состояния, i=l.....n, при непрерывном процессе представляет собой вероятностную функцию времени t.