Коши Огюстен Луи (1789-1857) - французский математик, член Института Франции (с 1816 г.), работал на сооружении военного порта в Шербуре (1810-1813), профессор Политехнической школы (с 1816 г.), Сорбонны (1816-1830), Коллеж де Франс (1848-1857), почетный член Петербургской академии наук (с 1831 г.); написал более 700 математических работ, в которых заложил основы теории функций, математического анализа, математической физики; в теории дифференциальных уравнений ему принадлежит заслуга постановки одной из основных ее задач, носящей ныне его имя, - задачи Коши.

Определение 4.6. Систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно входящих в нее производных искомых функций, называют системой, имеющей нормальную форму Коши \ а задачу нахождения неизвестных функций этой системы, удовлетворяющих указанным выше начальным словиям, - задачей Коши.

Таким образом, для системы дифференциальных уравнений Колмогорова (4.4) (как и для систем в примерах 4.2 и 4.3), имеющих нормальную форму Коши, ставится задача Коши.

Пример 4.4. Для изучения надежности эксплуатации счетчика банкнот TECHNITROL 940, который мы примем за систему S, рассмотрим следующие три его состояния: s - счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации, Sj - счетчик исправен и находится в состоянии эксплуатации, Sg - счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.

Будем предполагать, что счетчик банкнот может выйти из строя только во время его эксплуатации. На данном этапе изучения ремонт неисправного счетчика не предполагается (так что состояние Sg является ловушкой). Будем также считать, что изменения плотностей вероятностей переходов системы S из состояния в состояние пренебрежимо малы, т.е. плотности вероятностей переходов практически не зависят от времени (тем более, если промежуток времени, в течение которого мы анализируем работу

Вероятностное модеянроииие финансояо-1и

вской области

счетчика банкнот, не очень велик). Размеченный граф состояний системы дан на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Требуется найти вероятности состояний счетчика в момент t=i, если в начальный момент 0 счетчик банкнот был исправен, но не эксплуатировался.

Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний s, s, то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем. Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояние счетчика в будущем существенно зависит от его состояний в настоящий момент времени и несущественно - от его состояний в прошлом. Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса.

Матрица плотностей вероятностей переходов, составленная по графу на рис. 4.3, имеет вид

Сначала найдем вероятности состояний piit),p{t),p(t). в любой момент времени t.

Используя одно из правил I или II, составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

f «. Диск

ский случайный процесс с i

=-3p,W+2p,(0. =2р.(0.

(4.9)

Так как в начальный момент f=0 счетчик был исправен, но не эксплуатировался, то система S находилась в состоянии S,, и следовательно, мы можем выписать начальные условия

а(0) = 1. Р2(0)=0, й(0)=0.

(4.10)

Первые два уравнения системы (4.9) не содержат функции Рз(0,и потому их можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями p,(t) и piO, из которой при переносе правых частей в левые получим

+2й(0-Р2(0 = 0.

(4.11)

-2p,{t)+3p,{t)=0.

Из теории дифференциальных уравнений [6] известно, что частное решение системы (4.11) ищется в виде показательных функций

A(0 = Y.e. P2it)=y/

(4.12)

где у,, и А - постоянные (которые следует подобрать так, чтобы функции (4.12) удовлетворяли системе (4.11).

Подставим (4.12) в (4.11), затем сократим каждое уравнение на (>0) и приведем подобные слагаемые

(2+>.)Y,-Y2=0, -2у,+(3+Я,)у2 = 0.

(4.13)