назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


17

Колмогоров Андрей Николаевич (1903 - 1987) - выдающийся советский математик, академик, член Академии педагогических наук СССР, профессор Московского государственного университета, президент Московского математического общества (1964 - 1966), иностранный член Парижской академии наук, член Лондонского Королевского общества и ряда других зарубежных академий наук. Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР; основные научные достижения в области теории функций действительного переменного, теории вероятностей, конструктивной логики, топологии, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, приложений математики в механике, военном деле, биологии, технике и лингвистике; заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем.

Так как искомые функции p{t) - функции одной переменной, а именно времени t, то каждое уравнение системы (4.4) является обыкновенным дифференциальным уравнением.

Поскольку неизвестные функции p.{t) и их производные входят в уравнение (4.4) только в первой степени, то каждое уравнение системы (4.4) называют линейным.

Так как наивысший порядок производных и искомых функций p.{t) - первый, то уравнения системы (4.4) являются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Так как в каждом уравнении системы (4.4) свободные члены равны нулю, то уравнения системы (4.4) являются однородными.

Наконец, поскольку мы рассматриваем однородный процесс, то коэффициенты в уравнениях (4.4) постоянны (относительно времени t).

Итак, система (4.4) представляет собой систему п обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Если процесс неоднороден, то хотя бы один из коэффициентов/, будет зависеть от и в этом случае уравнения (4.4) называют уравнениями с переменными коэффициентами.

Определение 4.5. Система (4.4) называется системой дифференциальных уравнений Колмогорова



Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова удобно по одному из следующих двух правил.

I правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение Колмогорова для функции p.{i) (i=l.....и), надо в ле-

вой части этого уравнения записать производную

функции p,(t), а в правой - произведение -

суммы Xi; плотностей вероятностей переходов /?„ у стрелок, выходящих из состояния S., на вероятность p.{t) этого

состояния со знаком минус, плюс сумму XjiPjit) произ-

ведений p.{t) плотностей вероятностей переходов /, соответствующих стрелкам, входящим в состояние s., на вероятности состояний Pjit), из которых эти стрелки выходят. При этом плотности вероятностей переходов A.j, соответствующие отсутствующим на графе стрелкам, равны нулю.

Пример 4.2. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная по размеченному графу на рис. 4.2, будет выглядеть следующим образом

-(.K+K2)P.it) + KP2it) + KPsit)

П правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов



Вероятностное модея

е финаисояо-1к

еской обяастн

Для составления дифференциального уравнения Колмогорова для функции p.(t) n) надо в левой части

-i-i функции

этого уравнения записать производную

а в правой - произведение - £я, p,(f) суммы £я,

элементов /. i-ой строки матрицы Л на вероятность р.(0 состояния S. (номер которого совпадает с номером взятой

строки) со знаком минус, плюс сумму jiPj{t) произве-

дений "KjiPjit) элементов/.i-ro столбца на соответствующие им вероятности p.{t).

Пример 4.3. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная, например, по матрице плотностей вероятностей переходов

(Q 2 ЪЛ Л= 6 О О 1,5 4 О

имеет следующий вид

5p,{t)+6p,it)+l,5p,{t),

=-6р,(0+2р,(0+4рз(0.

= -5,5Рз(0+За(0.

Начальные условия системы дифференциальных уравнений Колмогорова определяются заданным распределением вероятностей состояний системы в начальный момент времени t=0:p(0), ...,pj(0), удовлетворяющих нормировочному условию (4.1). Если в начальный момент времени система 5 находится в состоянии s, mG{l,я}, то из нормировочного условия (4.1) получаем такое начальное распределение вероятностей

а(0) = 0,...,р„.,(0)=0,р„(0)=1,р„,,(0)=0.....р„(0) = 0.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]