Поскольку плотности веро}ггностей переходов снабжены двумя индексами, то их удобно расположить в виде матрицы
где >.„=>.22=- = >-™=0.
Зная плотности вероятностей перехода i.J=l, -, я, можно составить систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний pff), J=l, я, а именно справедлива следующая теорема.
ТЗеорема4.1. Вероятности состоянийр}С), 2=1,я (не-гтестные вероятностные фунтщи) являются решением следующей системы дифференциальных уравнений
di)it\ f " Л "
--Zh P.(0+£V>(0."=l.-.n;t>0. (4.4)
Доказательство: Придадим моменту времени t малое приращение Д>0 и рассмотрим событие Sj(t+At), состоящее в том, что в момент t+At система S будет находиться в состоянии Sj. Это событие может произойти при появлении одного из следующих двух событий A.{t,At) или B.{t,At).
Событие A.(t,At) состоит в том, что в момент t система S уже была в состоянии s., а за время не выщла из этого состояния, т.е. не перещла ни в какое другое состояние .... n,j*i.
Событие B(t,M) состоит в том, что в момент t система S находилась в одном из состояний Sj,j=l,n,j*i, отличном от Sj, а за время Д перешла из него в состояние s..
Очевидно, что события A.(t,At) и B.{t,At) несовместны и потому по теореме сложения вероятностей несовместных событий
p{t+At): =p{S{t+At)) =p(4(t, l))+p{B,{t At)). (4.5)
p{C,{t, Дг) 5,(0)= I p{D(tM)\S,{t)) = £ p,{tM).
Подставляя сюда (4.3) с учетом того, что в однородном процессе /.(f) не зависят от времени t, получим
p(c,{tM)\S,{t))=±X,.t.
Тогда
p{cXtM)\s,{t)) =\-p(c,{tM)\sM =1- ± x,-&t
Подставляя это в (4.6), найдем вероятность события A,it, At):
p{A,{t,M))=p,{t)-
Pi{tyt. (4.7)
Событие A.{t, At) представляет собой произведение двух зависимых событий: события состоящего в том, что система S в момент t находилась в состоянии s., и события C.{t, М), состоящего в том, что за время система S не вышла из состояния s.. Поэтому по теореме умножения вероятностей зависимых событий
=Mtyp{C,{t,At)\S,{t)), (4.6)
где piSj(t))=p.(t) - вероятность события S.(t), т.е. вероятность состояния S. в момент t, аp(C.(t)\S.(t)) - условная вероятность события C.(t, At) при условии, что событие 5 (О уже наступило, т.е. при условии того, что в момент t система 5 уже находилась в состоянии s..
Для вычисления условной вероятности p(C.(t)\S.(t)) рассмотрим противоположное событию C.(t, At) событие Q{t,&t), состоящее в том, что система 5за время At выйдет из г-го состояния s., и являющееся, очевидно, суммой событий Dj(J:, At),j=\,.... n,j*i, состоящих в том, что система S за время перейдет из состояния х.в состояние s.. Поскольку события At),j=\,n,j*i, несовместны, то для условных вероятностей этих событий, при условии, что событие S.{t) уже наступило, будем иметь
§ 4. Днскретный марковский гяучаймый процесс с непрерывным временем
Для вьмисления вероятности события B.{t, At) рассмотрим событие E.{t, At),j=\,.... n,j*i, состоящее в том, что в момент времени t система S уже находилась в состоянии s, а за время она перещла в состояние s.. Событие Ер:, At) представляет собой произведение двух зависимых событий: события S.(t), состоящего в том, что система S в момент t находилась в состоянии s, и события D.p:, At), состоящего в том, что за время At система S из состояния s. перейдет в состояние По теореме умножения веро}ггно-стей зависимых событий с использованием (4.3)
p{Ej{t,M)) p{Sj{t)-D,{t,M)) =p{Sj{t))p{D,{t,M)\S,{t))= = Pj{t)Psit.At)=Pj{t)XM, j=i,...,n, j*i .
Событие B.{t, At) есть сумма несовместных событий Ej{t, At),j=l,.... n,j*i, a потому no теореме сложения вероятностей несовместных событий
Подставляя (4.7) и (4.8) в (4.5), получаем
p,{t+At)=pXt)-
(4.8)
откуда
pXt + tJ:)-p,{t) At
I h PXt)+ X Xjpjit).
Переходя в этом равенстве к пределу при Дг:-0, получим дифференциальное уравнение для функции p.(t)
dpAt) dt
которое совпадает с уравнением системы (4.4), если принять во внимание, что Х,„ =0. Ш