назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


16

Поскольку плотности веро}ггностей переходов снабжены двумя индексами, то их удобно расположить в виде матрицы

К]

Я,21

К2

к

где >.„=>.22=- = >-™=0.

Зная плотности вероятностей перехода i.J=l, -, я, можно составить систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний pff), J=l, я, а именно справедлива следующая теорема.

ТЗеорема4.1. Вероятности состоянийр}С), 2=1,я (не-гтестные вероятностные фунтщи) являются решением следующей системы дифференциальных уравнений

di)it\ f " Л "

--Zh P.(0+£V>(0."=l.-.n;t>0. (4.4)

Доказательство: Придадим моменту времени t малое приращение Д>0 и рассмотрим событие Sj(t+At), состоящее в том, что в момент t+At система S будет находиться в состоянии Sj. Это событие может произойти при появлении одного из следующих двух событий A.{t,At) или B.{t,At).

Событие A.(t,At) состоит в том, что в момент t система S уже была в состоянии s., а за время не выщла из этого состояния, т.е. не перещла ни в какое другое состояние .... n,j*i.

Событие B(t,M) состоит в том, что в момент t система S находилась в одном из состояний Sj,j=l,n,j*i, отличном от Sj, а за время Д перешла из него в состояние s..

Очевидно, что события A.(t,At) и B.{t,At) несовместны и потому по теореме сложения вероятностей несовместных событий

p{t+At): =p{S{t+At)) =p(4(t, l))+p{B,{t At)). (4.5)



p{C,{t, Дг) 5,(0)= I p{D(tM)\S,{t)) = £ p,{tM).

Подставляя сюда (4.3) с учетом того, что в однородном процессе /.(f) не зависят от времени t, получим

p(c,{tM)\S,{t))=±X,.t.

Тогда

p{cXtM)\s,{t)) =\-p(c,{tM)\sM =1- ± x,-&t

Подставляя это в (4.6), найдем вероятность события A,it, At):

p{A,{t,M))=p,{t)-

Pi{tyt. (4.7)

Событие A.{t, At) представляет собой произведение двух зависимых событий: события состоящего в том, что система S в момент t находилась в состоянии s., и события C.{t, М), состоящего в том, что за время система S не вышла из состояния s.. Поэтому по теореме умножения вероятностей зависимых событий

=Mtyp{C,{t,At)\S,{t)), (4.6)

где piSj(t))=p.(t) - вероятность события S.(t), т.е. вероятность состояния S. в момент t, аp(C.(t)\S.(t)) - условная вероятность события C.(t, At) при условии, что событие 5 (О уже наступило, т.е. при условии того, что в момент t система 5 уже находилась в состоянии s..

Для вычисления условной вероятности p(C.(t)\S.(t)) рассмотрим противоположное событию C.(t, At) событие Q{t,&t), состоящее в том, что система 5за время At выйдет из г-го состояния s., и являющееся, очевидно, суммой событий Dj(J:, At),j=\,.... n,j*i, состоящих в том, что система S за время перейдет из состояния х.в состояние s.. Поскольку события At),j=\,n,j*i, несовместны, то для условных вероятностей этих событий, при условии, что событие S.{t) уже наступило, будем иметь



§ 4. Днскретный марковский гяучаймый процесс с непрерывным временем

Для вьмисления вероятности события B.{t, At) рассмотрим событие E.{t, At),j=\,.... n,j*i, состоящее в том, что в момент времени t система S уже находилась в состоянии s, а за время она перещла в состояние s.. Событие Ер:, At) представляет собой произведение двух зависимых событий: события S.(t), состоящего в том, что система S в момент t находилась в состоянии s, и события D.p:, At), состоящего в том, что за время At система S из состояния s. перейдет в состояние По теореме умножения веро}ггно-стей зависимых событий с использованием (4.3)

p{Ej{t,M)) p{Sj{t)-D,{t,M)) =p{Sj{t))p{D,{t,M)\S,{t))= = Pj{t)Psit.At)=Pj{t)XM, j=i,...,n, j*i .

Событие B.{t, At) есть сумма несовместных событий Ej{t, At),j=l,.... n,j*i, a потому no теореме сложения вероятностей несовместных событий

Подставляя (4.7) и (4.8) в (4.5), получаем

p,{t+At)=pXt)-

(4.8)

откуда

pXt + tJ:)-p,{t) At

I h PXt)+ X Xjpjit).

Переходя в этом равенстве к пределу при Дг:-0, получим дифференциальное уравнение для функции p.(t)

dpAt) dt

которое совпадает с уравнением системы (4.4), если принять во внимание, что Х,„ =0. Ш

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]