назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


15

Вероятностное модеяиронаиие я финансово-экономическом области

Определение 4.1. ВероятностьPi(t)=p{S.(t)), i=l,.... и, t>0 события S.(t), состоящего в том, что система S в момент времени t находится в состоянии s, называется вероятностью i-ro состояния системы в момент времени.

Вероятность состояния p.(t) является, таким образом, вероятностной функцией времени t>0.

Марковский дискретный процесс с непрерывным временем считается изученным, если найдены все вероятности состояний р;(0, i=l,И-

Так как в любой момент времени t система 5 будет находиться только в одном из состояний s,s, то события S.(t), 1=1,п, несовместны и образуют полную группу. Поэтому (как известно из теории вероятности) имеет место нормировочное условие

2)pj(t)=l, для любого t>0. (4.1)

Пусть p.j(t) вероятности перехода системы 5 в момент времени t из состояния s. в состояние s. при и вероятности задержки в момент времени t в состоянии s. при i=j. Если в момент времени t система находится в i-м состоянии, то можно считать, что точно в этот момент t произошла задержка системы в г-м состоянии и поэтому p..(f)=l. Следовательно, из соображений выполнения нормировочного условияp.(t)+...+p(t)=l заключаем, что вероятность перехода системы 5 из i-ro состояния в другое j-e состояние точно в момент t будет равна нулю: p{t)=0, Поэтому вероятности перехода в случае процесса с непрерывным временем уже не играют той определяющей роли в вычислении вероятностей состояний, которую они исполняли в случае процесса с дискретным временем. Вместо переходных вероятностей в процессе с непрерывным временем рассматривают иные характеристики процесса - так называемые плотности вероятностей перехода из состояния 5 в состояние которые определяются следующим образом.



Рис. 4.1

Равенство pjt; Д0=0 (S*J) выполняется в следующих случаях:

• система S в момент времени t не находится в состоянии

• система S в момент времени t находится в состоянии S., однако за промежуток времени \t, t+At\ она перешла в состояние отличное от состояния Sj(j*k);

• система S в момент времени t находится в состоянии S. и остается в этом состоянии на протяжении всего промежутка времени [t, t+At].

Для равных индексов i=j вероятности перехода в другое состояние Pjj(t; At) теряют содержательный смысл, и поскольку переход в другое состояние не осуществляется, то естественно величины p..(t; At) считать равными нулю:

pJ[t,At)=0, 1=1,..., я.

Определение 4.2. Плотностью вероятности перехода системы S из состояния s. в состояние Sj в момент времени t называется величина

Из (4.2) следует, что

p{t;At)"X{t)M, AtO. (4.3)

Обозначим через Д), Д>0 - вероятность того, что система S, находившаяся в момент времени t в состоянии S., за промежуток времени \t, t+Ai], Ai>0 (т.е. за время ДО перейдет из него в другое состояние s. (см. рис. 4.1).



Из определения 4.2 плотностей вероятности перехода /(О видно, что они в общем случае зависят от времени t, неотрицательны и в отличие от вероятностей могут быть больше 1, Ho>i.(f)=0, j=l,п.

Определение 4.3. Если при любых i,j=\,я, плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, и тогда вместо/.(t) будем писать просто то марковский процесс с непрерывным временем называется од-нородным. Если же хотя бы при одной паре значений 15*7 плотность вероятности перехода изменяется с течением времени t, процесс называется неоднородным.

Рассмотрим далее однородный дискретный марковский процесс с непрерывным временем.

Определение 4.4. Граф состояний марковского однородного процесса с непрерывным временем, у стрелок которого указаны плотности вероятностей переходов А., называется размеченным.

Пример 4.1. На рис. 4.2 изображен размеченный граф состояний системы, в которой протекает процесс с непрерывным временем.

Рис. 4.2

Отсутствие на графе стрелок из одних состояний в другие означает, что плотности вероятностей соответствующих переходов равны нулю. Например, A.=0.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]