назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


13

Ввроятностноа моделирование в финансеве-жоиемической области

Краткие выводы

у неоднородной марковской цепи переходные вероятности р. (А) (хотя бы одна из них) и, следовательно, матрица переходных вероятностей P(k) зависят от номера шага k.

Вероятности состояний р. (k), i=i,п, неоднородной марковской цепи на каждом шаге k вьгаисляются либо по рекуррентной формуле (3.2), либо по формуле (3.3), где (р,(0),...,р(0)) - вектор начального распределения вероятностей состояний системы.

Ключевые слова и выражения

Марковская неоднородная цепь; переходные вероятности; вероятности состояний; вектор начального распределения вероятностей состояний системы.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая марковская цепь называется неоднородной?

2. В чем отличие однородной марковской цепи от неоднородной?

3. Что такое вектор начального распределения вероятностей?

4. По каким формулам можно рассчитать вероятности состояний марковской неоднородной цепи на k-ом шаге?

5. Является ли произведение нескольких стохастических матриц стохастической матрицей?

Задания к §3

3.1. Допустим, что в условиях задачи 2.1 переходные вероятности зависят от моментов установления процентных ставок. Матрицы переходных вероятностей задаются следующим образом:



Р(1)=

0.1 0,4 0.3 0,2

0.3 0,2 0.4 0.1

0,1 0,3 0.1 0,5

0.0 0.0 0.5 0.5

Р(2)=

(0,5 0.3 0.2 0.0

0,1 0.4 0,5 0.0

0,0 0.2 0,5 0.3

0.0 0.0 04 0.6

Р{3)=

0.2 0.3 0.4 0.1

0,4 0.1 0.5 0.0

0.1 0.1 0.5 0,3

0,0 0,2 04 0,4

Постройте размеченные графы состояний, соответствующие началам каждого месяца в квартале, и найдите вероятности состояний банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 3%.

Вычисления проведите по формулам (3.2) и (3.3) и сравните их сложность.

Замечание 3.3. В качестве ориентира выполнения этого задания можно взять пример 3.1.

3.2. Рассмотрим деятельность двух конкурирующих торговых фирм А и В на протяжении года с января по декабрь. В начале каждого месяца рассматриваемого года фирма В предпринимает действия (например, поставляет на рынок более качественный товар или по более низким ценам), в результате каждого из которых фирма А может оказаться в одном из следующих пяти состояний:

s - положение дел фирмы А оценивается как отличное;

«2 - положение дел фирмы А хорошее;

S3 - фирме А нанесен незначительный ущерб;

- фирме А нанесен значительный ущерб; Sj - фирма А на грани банкротства.

Предполагаем, что в течение каждого месяца рассматриваемого года фирма А остается в том же состоянии, в котором она оказалась в начале этого месяца. Таким образом, можно считать, что фирма А может переходить из состояния в состояние только в начале каждого месяца. Перед рассматриваемым годом фирма А находилась в состоянии s.

Охарактеризуйте процесс, протекающий в фирме А. Определите вероятности состояний фирмы А в июне рассматриваемого года, если переходные вероятности изменя-



Вермтностное надеянроиние финансою-жономнчсскон обяасти

ются В начале каждого месяца и размеченные графы состояний, соответствующие месяцам с января по июнь, изображены на рис. 3.5-3.10.

Рис. 3.5.

[ Размеченный граф состояний фирмы А соответствующий январю

Рис. 3.6.

I Размеченный граф состояний фирмы Л соответствующий февралю

/о,2

«3

Рис. 3.7.

I Размеченный граф состояний фирмы А, соответствующий марту

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]