Ввроятностноа моделирование в финансеве-жоиемической области
Краткие выводы
у неоднородной марковской цепи переходные вероятности р. (А) (хотя бы одна из них) и, следовательно, матрица переходных вероятностей P(k) зависят от номера шага k.
Вероятности состояний р. (k), i=i,п, неоднородной марковской цепи на каждом шаге k вьгаисляются либо по рекуррентной формуле (3.2), либо по формуле (3.3), где (р,(0),...,р(0)) - вектор начального распределения вероятностей состояний системы.
Ключевые слова и выражения
Марковская неоднородная цепь; переходные вероятности; вероятности состояний; вектор начального распределения вероятностей состояний системы.
Вопросы для самоконтроля
1. Какая марковская цепь называется неоднородной?
2. В чем отличие однородной марковской цепи от неоднородной?
3. Что такое вектор начального распределения вероятностей?
4. По каким формулам можно рассчитать вероятности состояний марковской неоднородной цепи на k-ом шаге?
5. Является ли произведение нескольких стохастических матриц стохастической матрицей?
Задания к §3
3.1. Допустим, что в условиях задачи 2.1 переходные вероятности зависят от моментов установления процентных ставок. Матрицы переходных вероятностей задаются следующим образом:
Р(1)=
0.1 0,4 0.3 0,2
0.3 0,2 0.4 0.1
0,1 0,3 0.1 0,5
0.0 0.0 0.5 0.5
Р(2)=
(0,5 0.3 0.2 0.0
0,1 0.4 0,5 0.0
0,0 0.2 0,5 0.3
0.0 0.0 04 0.6
Р{3)=
0.2 0.3 0.4 0.1
0,4 0.1 0.5 0.0
0.1 0.1 0.5 0,3
0,0 0,2 04 0,4
Постройте размеченные графы состояний, соответствующие началам каждого месяца в квартале, и найдите вероятности состояний банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 3%.
Вычисления проведите по формулам (3.2) и (3.3) и сравните их сложность.
Замечание 3.3. В качестве ориентира выполнения этого задания можно взять пример 3.1.
3.2. Рассмотрим деятельность двух конкурирующих торговых фирм А и В на протяжении года с января по декабрь. В начале каждого месяца рассматриваемого года фирма В предпринимает действия (например, поставляет на рынок более качественный товар или по более низким ценам), в результате каждого из которых фирма А может оказаться в одном из следующих пяти состояний:
s - положение дел фирмы А оценивается как отличное;
«2 - положение дел фирмы А хорошее;
S3 - фирме А нанесен незначительный ущерб;
- фирме А нанесен значительный ущерб; Sj - фирма А на грани банкротства.
Предполагаем, что в течение каждого месяца рассматриваемого года фирма А остается в том же состоянии, в котором она оказалась в начале этого месяца. Таким образом, можно считать, что фирма А может переходить из состояния в состояние только в начале каждого месяца. Перед рассматриваемым годом фирма А находилась в состоянии s.
Охарактеризуйте процесс, протекающий в фирме А. Определите вероятности состояний фирмы А в июне рассматриваемого года, если переходные вероятности изменя-
Вермтностное надеянроиние финансою-жономнчсскон обяасти
ются В начале каждого месяца и размеченные графы состояний, соответствующие месяцам с января по июнь, изображены на рис. 3.5-3.10.
Рис. 3.5.
[ Размеченный граф состояний фирмы А соответствующий январю
Рис. 3.6.
I Размеченный граф состояний фирмы Л соответствующий февралю
Рис. 3.7.
I Размеченный граф состояний фирмы А, соответствующий марту