Веролтиостное монелирояание в финансово-экономической областн
Аргументируя так же, как и при выводе нормировочного условия (2.2), получим, что для каждого k=l,2,... сумма элементов каждой строки матрицы P(k) равна единице:
Хр(А) = 1, 1 = 1,...,и: а = 1,2,..., (3.1)
т.е. матрица P(k) при каждом k=l,2,... является стохастической.
Аналогично доказательству теоремы 2.1 можно доказать следующую теорему:
Теорема 3.1. Для неоднородной марковской цепи вектор -строка вероятностей состояний от k-го до (Л+1)-го ишга равна произведению вектор-строки вероятностей состояний от (й-1)-го до k-го шага на матрииу переходных вероятностей от k-го до (k+iyzo шага:
(Рг(к).....р„(*)) = (р,(*-1),...,р„(*-1))/(*), k = i,2,... (3.2)
Доказательство: Для каждого k=i,2,... рассмотрим п гипотез Я;(й-1), г=1,и, состоящих соответственно в том, что от (fe-l)-ro шага до k-то система 5 находилась в состоянии S.. Так как система S на каждом отрезке времени от (k-l)-To шага до k-то находится только в одном из состояний S., i=l,п, то гипотезы H.{k-\), г=1,п, для каждого k=l, 2,несовместны и образуют полную группу. Вероятности p(H.(k-\y) этих гипотез совпадают, очевидно, с вероятностями Pj(fe-l) состояний S. от (fe-l)-ro шага до k-то: p{H.{k-i))=p{k-\), i=l,п; k=i, 2,.... Условная вероятность р(5(Л)5(й-1)) того, что система S от k-то шага до (й+1)-го будет находиться в состоянии s. при гипотезе H.{k-\), т.е. при условии, что система 5от (к-1)-го шага до k-TO находилась в состоянии s., есть очевидно переходная вероятность p.(fe), зависящая от й.Тогда по формуле полной вероятности (см. сноску на стр. 29):
рД*)=1:р(н,(А-1))р(5Д*)5,(*-1))=Хр,(*-1) р,(*), i=l.......
f 3.1
A это и есть формула (3.2) в координатной форме. Последовательным применением формулы (3.2) доказывается
Следствие 3.1. Для неоднородной марковской цепи имеет место следующая формула
ipk).....p„ik))={p,(0),...,p„(0))P(l):..P{k), * = 1, 2..... (3.3)
Доказательство: В правую часть формулы (3.2) вместо вектора (р,(й-1), p(k-l)) подставим его выражение
(p(k-2).....pj(k-2))P(k-l), получающееся из формулы (3.2)
заменой в ней kaak-i. Получим
(а(*),....Р„(*))=(а(*-2),...,р„(*-2))./(*-1)./(4
Аналогично в правую часть полученного равенства вместо вектора (p{k~2).....pJ(k-2)} подставим его выражение
(p{k-3),pj(k-3))P(k-2), получающееся из формулы (3.2) заменой в ней k на k-2.
Продолжая зтот процесс, мы придем к формуле (3.3).
Легко показать, что произведение стохастических матриц является стохастической матрицей. Поэтому в формуле (3.3) произведение P(iy...-P{k) является стохастической матрицей, поскольку каждая из них в силу (3.1) - стохастическая матрица. А так как и матрица (р,(0), ...,р(0)) стохастическая, то матрица (p,(fe).....р„{к)) также стохастическая, т.е. получим еще одно подтверждение выполнения нормировочного условия (2.1).
Замечание 3.1. Если неоднородность марковской цепи понимать в более широком смысле, допускающем, в частности, ее однородность, то в случае однородности марковской цепир„(й)=р, P(k)=P, k=l, 2,и формулы (3.1), (3.2) и (3.3) превращаются соответственно в формулы (2.2), (2.4) и (2.5).
Пример 3.1. Предположим, что в условиях примера 2.3 переходные вероятности зависят от моментов установле-
Вероятностное моделирование в финансово-экономической области
НИЯ процентных ставок. Матрицы переходных вероятностей задаются следующим образом:
Построим размеченные графы состояний, соответствующие моментам времени t - начало г-го квартала (г= 1,2,3,4) и найдем вероятности состояний банка в конце года, если в конце предшествующего года процентная ставка была 4%.
В данном случае мы имеем марковскую дискретную неоднородную цепь. При построении размеченных графов состояний системы S указываем только стрелки тех непосредственных переходов из состояния в состояние, переходные вероятности которых отличны от нуля. Соответствующие графы изображены на рис. 3.1-3.4.
Рис. 3.1.
Размеченный граф состояний системы S, соответствующий шагу 1(=1