назад Оглавление вперед


[Старт] [ 1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


1

Вероятностное моделнрование в фннансово-экономнческой областн

Определение 1.2. Случайньш процессом или синонимически случайной функцией S(t), где t - время, называется функция, которая каждому моменту времени t из временного промежутка проводимого опыта ставит в соответствие единственную случайную величину S(t).

Значит, аргументом случайной функции является время, а ее значением - случайная величина. Таким образом, случайная функция характеризует изменение случайной величины в процессе опыта.

Далее нам придется иметь дело с системами различной природы, в основном с экономическими и финансовыми.

В общем случае понятие системы можно определить следующим образом.

Ощ/еделение 1.3. Под системой 5 будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества.

Связи между элементами системы в одну или в обе стороны могут бьггь как непосредственными, так и опосредованными. Например, на рис. 1.1 символически изображена система с тремя элементами а, Ь,ск связями между ними. При этом связь между элементами аиЬ - непосредственная в обе стороны, т.е. изменение а влечет изменение b и на-

Рис.1.1



оборот, СВЯЗЬ между элементами Ьис - непосредственная в одну сторону (изменение элемента с влечет изменение Ь, но не наоборот), связь между элементами а и с - опосредованная в одну сторону, т.е. изменение элемента с влечет изменение элемента Ь, а это, в свою очередь, влечет изменение элемента а.

Элементы системы и связи между ними изменяются, вообще говоря, во времени и характеризуют в каждый момент времени t состояние S(t) системы 5.

Определение 1.4. Если система 5 с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе 5 протекает случайный процесс.

Пусть s, Sj,5, - - возможные состояния системы 5. Обычно предполагают, что данные состояния определены (качественно) так, что в любой момент времени система пребывает только в одном из них, т.е. для любого момента времени t найдется единственное состояние s. такое, что 5(0 = 5,

Если множество состояний не более, чем счетно (т.е. конечно {s,,...,s} или счетно {s,,...,s,...}), то оно дискретно. Если множество состояний более, чем счетно (например, имеет мощность континуума), то оно непрерывно.

В случае дискретного множества состожий система меняет свои состояния скачком (мгновенно). В случае же не-прфывного множества состояний переход системы из состояния в состояние осуществляется непрерывно (постепенно, плавно).

В дальнейщем мы будем рассматривать только системы с дискретным множеством состояний, предполагая при этом, что в каждый фиксированный момент времени система может пребывать только в одном из своих возможных состояний.

Определение 1.5. Процесс, заключающийся в том, что система с дискретным множеством состояний в некоторые моменты времени скачком (мгновенно) переска-



Вероятностно* моделнровенне фимансоео-мононическом обяастн

кивает случайным образом из одного состояния в другое, называется дискретным случайньш процессом.

Определение 1.6. Случайный процесс, протекающий в системе 5, называется марковским, если он обладает свойством отсутствия последействия, состоящим в том, что для каждого момента времени t„ вероятность любого состояния S(t) системы 5 в будушем (при t>t) зависит только от ее состояния S(tg) в настоящем (при <=-<ц) и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (при t<t).

Свойство отсутствия последействия называют также свойством отсутствия памяти, а марковские процессы - процессами без памяти.

В финансово-экономической практике нередко встречаются случайные процессы, которые с определенной погрешностью можно считать марковскими.

Для анализа дискретных случайньпс процессов, протекающих в системе, удобно пользоваться графами ее состояний.

(Определение 1.7. Под графом состояний системы мы будем понимать множество квадратов (вместо которых можно взять, например, прямоугольники или кружки), условно изображающих состояния, внутри которых помещаются обозначения состояний, и множество стрелок возможных непосредственных переходов из состояния в состояние.

Пример 1.1. На рис. 1.2 изображен граф системы 5 с восемью состояниями s,-Sg, с возможными непосредственными переходами s,->Sy s-Sj, Sj-s,, s-s, s-s, Sfs, Sg->s,

Например, переход из состояния SjB состояние Sg возможен через состояние и потому является опосредованньп; непосредственный же переход s-s невозможен, поскольку на графе отсутствует соответствующая стрелка. ш

[Старт] [ 1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]