ход изменяются в одном и том же направлении, то есть между потреблением и доходом существует прямая, или положительная, связь.

Наклон, равный 0.5, свидетельствует о том, что каждый прирост дохода на 2 дол. сопровождается увеличением погребления на 1 дол. Таким же образом он ноказьн!ает. что каждое снижение дохода на 2 дол. приводит к сокращению потребления на 1 дол.

Отрицательный угол наклона. Связь между двумя любыми зависимыми переменнь(ми иарис. 2, например, между точкой с и точкой d показьпзает. что вер-тикдтьнос смещение (снижение) составляет -5, а го-ризонтдтьное смещение (рост) равно +4. Отсюда:

Наклон "=

Вертикальное смещение Горизонтальное смешение

= 1- = -1,25.

Наклон кривой в данном случае будет отрицательным, поскольку между йеной билега и посещаемо-С1ью матчей существует обратная зависимость.

Обратите вии\>анпе, что на горизонтальной оси данные приводятся в тысячах человек. Поэтому наклон / , или -1,25, подразумевает, что снижение цены би.дста иа 5 дол. будет сопровождаться yвe.пlчeииe числа посетителей на 4 ть(С. человек. Иначе говоря, это означает, что снижение иены билета на 1.25 дол. увеличивает посещаемость матча на 1000 человек.

Наклон и единицы измерения. На наклон прямой может влиять выбор единиц измерения для описания любой неременной. Если бы в нашем примере мы стали измерять посещаемость числом человек, то 1оризонта-чык)е изменение составило бы 4 тыс. и нак,чон бы.ч бы равен;

Наклон =

+4000

-1 -800

= -0.00125,

Измерение наклона зависит от выбора единиц измерения переменных.

Маржинальный анализ и наклон. Вспомним, что экономике в основном занимается изучением изменений status quo. Эта идея имеет отношение к нашей теме, потому что наклоны прямых отражают предельные изменения - иными словами то. что произойдет с процессом, если добавить (или убрать) 1 единицу Например, на рис, 1 наклон иоказьн!аст, что 0,5 дол, дополнительного, или предельного, гю-требления новлечсг за собой увеличение дохода на 1 дол, В это,м примере иогребтсли потратят половину любого увеличения своего дохода в 1 дол, н снизят погреблснис на половину уменьшения дохода - на 0,5 ло;ь

Бесконечные и пулевые наклоны. Многие переменные никак не связаны между собой или не зависят друг от друга. Не стоит ожидагь, что цена иа бананы будет как-то связана с количеством купленных наручнь(Х часов. На рис. За отложим цену бананов на вертикальной оси, а спрос на часы - на горизонтальной. Отсутствие взаимосвязи между будет выражаться линией, нарал.дельнон вертик;!ль-ной оси. указьнигющей на то, что h3n>eHeHHe цены бананов не влияет иа покупку часов, Нак.чои такой прямой бу.дет бесконечным.

Таким же образом, совокупное потребление со-licpmenHO не с1!язанос уровнем разводов. На рис. 36 отложим потребление на вертикддьной оси, а уровень разводов - на горизонтШ1Ьной. Отсутствие взаимосвязи будет представлено прямой, параллельной горизонтальной оси. В таком случае линия имеет нулевой наклон.

Точка пересечения с осью ординат

Кроме наклона информаиней. необходимой для определения положения прямой на (рафике, являются координаты точки ее пересечения с осью ординат Точка пересечения с осью ординат - эго точка, в которой прямая пересекает вертнкачьную ось. На рис. 1 точка пересечения соответствует 50 дол. Это означает, что если бы текущий доход оказался равен нулю.

Продажа часов

Уровень рчзоодов

Рисунок 3. Бесконечный и нулевой наклоны

а) Прямая, параллельная вертикальной оси, имеет бесконечный наклон, В нашем случае количество часов остается постоянным, независимо от того, что происходит с ценой бананов.

б) Прямая, параллельная горизонтальной оси, имеет нулевой наклон. Б нашем случае лотроблйние осгоется постоянным, независимо от того, что происходит с уровнем разво-доь, В обоих случаях две переменные независимы одна от другой.

потребители нес равно потратшш бы 50 ло.ч. Они могли бы взять деньги в долг илн продать часть своих активов. Точно так же точка пересечения с нерти-кально!! осью на рис. 2 показьП!ает, что при цене в 25 дол. за билет университетская баскетбольная ко-ман.та будет играть при пустых трибунах.

Уравнение линейной зависимости

Теперь, зная точку пересечения с осью ординат и наклон прямой, мы можем описать кривую с помощью уравнения. В общем виде линейное уравнение выглядит так:

у = а + hx,

где у - зависимая переменная;

а - точка пересечения;

b - наююн прямой;

x - независимая переменная. В нащсм примере соотношения «доход - потребление» если С предста1!Дяет потребление (зависимую переменную) н К представляе г доход (незаш!-симую переменную), то уравнегшс может принять вид; С = а + ЬУ. Подставляя конкретные значения точки пересечения и наклона, получаем;

С= 50 + 0,5 К

Это уравнение позво.чяет нам определить объем потребления С при любом уровне дохода. Вы можете определить, что при доходе li 250 до.л. объем нотрсб-.ления составит 175 дол.

Когда экономисты меняют принятый математиками порядок размсигения па графике независимых и зависимых переменных и помещают первые на оси ординат, а вторые - на оси абсцисс, под\часг-ся, что обычное .ппнейиос уравнение решается относительно независимой псремеьпюй, а не относительно зависимой. Выше мы отмечали, что этот случай подходит ,тля nauHix данных о цеььах билетов и посещаемости баскетбольных маччей упиверсилета. Если мы примем Р за пену билета (независимая переменная), а С? ~ за посещаемость (зависимая переменная), naujc уравнение примет следующий вид:

Р= 25 ~ 1,250,

где пересечение с осью ординат оказывается в точке 25, а отрицательный наклон равен или - 1,25. Однако, зная величину мы можем реичить уравнение для посещаемости (0, которая фактически является зависимой переменной. Вам необходимо использовать это уравнение для предсказания объемов продаж билетов, если цена на них будет равна 7,5 дол. {К.1ючевой вопрос 3 к приложению.)

Наклон кривой

Теперь перейдем из простого мира линейных связей (прямых) в несколько более сложный мир не-

Рисунок 4. Определение наклона кривых

Угол наклона кривой изменяется по мере продвижения по ней от одной точки к другой. Наклон в любой точке (например, 6) можно определить путем проведения прямой, касающейся кривой в соответствующей точке (кривая ЬЬ), и вычисления наклона этой прямой.

линейных связей. Наклон прямой будет одинаковым на протяжении всей прямой. Наклон линии, отражающей нелинейное соотношение, изменяется по .мере продвижения от одной точки к другой. Такие ;н1иии называются кривыми. (Прямую линию также можно называть «кривой».)

Например, рассмотрим нисходящую кривую на рис. 4. Несмотря на то что у нее отрипательньп! па-клон на всем протяжении, он у.меньшается или выравнивается по мерс продвижения но кривой вниз и вправо. Поскольку наклон постоянно меняется, мы в состоянии измерить его лишь в какой-то определенной точке кривой.

Для такого измерения сначала проведем прямую линию, которая касалась бы кривой к той точке, где мы хотим измерить угол наклона. Прямая является касательной к кривой в точке, г,де оня соприкасается с нею, но не пересекает ее. Так, на рис. 4 прямая аа касается кривой в точке А. Мы можем измерить наклон кривой в точке А. просто измерив наклон касательной. Так, вертика.льнос смешение (падение) для прямой состав.ляет -20. а юризои-тальное смешение (шаг) равно +5. Т.ИчИ.м оГ>ра.!ом. наклон касательной аа равен ~20/-i-5, или -4. следовательно, наклон кривой в точке Л тоже равен -4,

Прямая ЬЬ на рис. 4 касается кривой в точке В. Выполнив ту же последовательность ,чс1!ствий. мы обнаружим, что отрицательный \год наклона в этом случае меньше, а именно равен -5/- 15, или -/,. (Кчючевой вопрос 6 к при.ю.жеиию.)

1. Графики служат удобным и информативным способом представления экономических зависимостей.

2. Между двумя переменными существует положительная, или прямая, зависимость, когда их значения изменяются в одном направлении. Прямая (кривая), отражающая прямую зависимость между неременными, изображается на графике в виде восходящей линии.

3. Между двумя переменными существует отрицательная, или обратная, зависимость, когда их значения изменяются в противоположных направлениях. Соотношение этих переменных изображается па графике в виде нисходящей линии.

4. .Значение зависимой переменной («следствия») определяется по значению независимой переменной («причиной»),

5. Когда учитьшаются изменения «прочих факторов», которые могут повлиять на связь между двумя переменныкп-!, следует ожидать, что изображенная на графике линия примет новое положение.

6. Наклон прямой представляет собой отношение между вертикальным и горизонтальным смещением, складывающееся по мере передвижения между любыми двумя точками. Наклон восходящей линии является положительны.м, а (пчсходявгей линии - отрицательным,

7. Наююн прямой hjhi кривой зависит от выбора единицы измереьтя переменных. Этот показатель особенно важен в экономике, так как он отражает предельные изменения.

8. Наклон горизонтальной прямой равен нулю, наклон вертикальной прямой бесконечен.

9. Точка пересечения с осью ординат и наклон прямой определяют ее положение и используются для описания связи между двумя переменными в форме уравнения.

10. Наклон кривой в любой точке определяется путем из.меренмя наклона прямой, касающейся кривой в этой точке.

ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ в ПРИЛОЖЕНИИ

Ось абсцисс (horizontal axis)

Ось ординат (vertical axis)

Прямая зависимость (direct relationship)

Обратная зависимость (inverse relationship)

Зависимая переменная (dependent variable) Независимая переменная (independent variable) Наклон пря.мой (slope of а straight line) Точка пересечения с осью ординат (vertical intercept)

ВОПРОСЫ и УЧЕБНЫЕ ЗАДАНИЯ К ПРИЛОЖЕНИЮ

1. Вкратце объясните, как используются графики в качестве способа отображения эконокпчческих соотношений. Что такое обратная зависимость? Как она изображается на графике? Что такое прямая зависимость? Как она изображается на графике? Изобразите и объясните связи, которые могут возникнуть между: а) количеством осадков в месяц (в дюймах) и продажей зонтов; б) размером платы за обучение и числом студентов в университете; в) размером поощрительных стипендий студентам-спортсменам и количеством матчей, вьшгранных футбольной командой университета.

В каждом случае назовите факторы и объясните, какие из них, помимо названных выше, способны нарушить ожидаемые связи. Совместим ли ваш вывод по пункту б) с тем фактом, что исторически число сту.дентов и плата за обучение возрастали параллельно. Если нет, то объясните любое отступление от этого правила.

2. Ключевой вопрос к приложению. Укажите, как может каадое нз следующих обстоятельств повлиять на .данные, приведенные в табл. 2 и на рис. 2 настоящего приложения:

а) руководитель отдела спорта университета определяет сильнейшие команды противников;

б) команда университета три сезона подряд терпит поражение;

в) контракты, заключаемые командой университета, предусматривают телевизионные репортажи с игр на своем стадионе.

3. КшчевоИ вопрос к приложению. Следующая таблица содержит данные о зависимости между сбе-режениякп! и доходами. Расположите эти данные в надлежащем порядке и нанесите их на номепген-ную ниже сетку. Каким окажется нак.дон прямой Где будет пересечение с осью ординат? Объясните значения наклона и точки пересечения. Постро1те уравнение, которое описьизает прямую на вашем

Введение в экономике и экономику РЕЗЮМЕ К ПРИЛОЖЕНИЮ