| = max | max {Soiicf |
| = max | ( max {Soud |
| = max | ( max {Soud |
| = max 1 | (max{Sou°d |
-5o«V,0)).
С цифрами из нашего примера это означает, что
0„, = 33.25, Oa. = Ow = 1.31, Odd = 32.67.
В момент времени f = 1 опцион колл и пут не порождает ни доходов, ни расходов, так как он относится к европейскому типу, а значит,
Ou=Od = 0.
Для того чтобы суметь сконструировать эквивалентный портфель из акции и безрисковой инвестиции, мы будем использовать следующие символы для обозначения структурных переменных эквивалентного портфеля:
"б-,о - количество акций, оборачивающихся в < = О, пв,о - количество облигаций, оборачивающихся в i = О, "5,1 - количество акций, держащихся в t = 1 в ситуации и, 4 1 - количество акций, держащихся в < = 1 в ситуации d, 1 - количество облигаций, держащихся в ( = 1 в ситуации и, - количество облигаций, держащихся в f = 1 в ситуации d.
При использовании этих символов можно составить и решить три системы уравнений. При этом мы как бы «двигаемся назад во времени».
(1) Рассмотрите рис. 6.5 и сконцентрируйте внимание на окаймленном участке. Вы находитесь в моменте времени t = 1, и курс акций повысился до 5()м. В этой ситуации вы можете быть убеждены, что курс акции в момент времени t = 2 или повысится до Sv?, или снизится до Sf)ud. Это одновременно означает, что опцион колл-пут тогда породит денежные потоки или в объеме Оии, или в объеме Oud-Нам сейчас нужно при действующих здесь условиях сконструировать из акции и облигации портфель, который в момент времени t = 2 породит в точности те же денежные .потоки, что и опцион колл и пут,
портфель, который эквивалентен опциону колл-пут и определите цену этого портфеля.
* *
Опцион, который может использоваться выборочно как опцион колл или опцион пут, «обещает» в момент времени t = 2 зависимые от ситуации денежные потоки величиной в
t = О
Рис. 6.5. Курс акций в биномиальной модели
а именно 0„„ и О,,,/. Если далее учесть, что облигация в .момент времени t = 1 котируется по цене В\ и один период позднее даст гарантированные возвратные потоки в объеме В] (1 +77), тогда система уравнений для определения структурных переменных эквивалентного портфеля будет выглядеть следующим образом:
Suu\i n j + в, (1 + Г/) /y,,i = O.iu, или с конкретными данными из нашего примера
373.25 • j;; J 4 112.36 • iq = 33.25, 338.69 7;., + 112.30 • 7г.у;, = 1.31,
из чего мы получаем решения о. j = 0.9241 и 77./; j = -2.77,38. (2) Вторая система уравнений предполагает, что курс акции в момент времени t = 1 упадет до стоимости .nf- При этом условии эквивалентный портфель необходимо образовать так, чтобы он в момент времени t = = 2 при повторном снижении курса акции принял значение 0,ui, а при росте курса акции - значение Поэтому мы получаем
SoiiM- 14 , + В,{1 + rj) nj, , = 0,1,,, или с конкретными данными из нашего примера
338.09 • 7;; , + 112.36 .у = 1.31, 307.33 nlj + 112..36 • 7;./, , = 32.67.
что приводит к решениям п j = -1.0000 и и , = 3.0260.
(Л) С помощью обеих первых систем уравнения мы определили структуру эквивалентного портфеля, который следует выбрать нам в интересах дублирования нашего опциона в момент времени t - I. Естественно, для приобретения этого портфеля в соответствующий момент времени необходимы платежи. Но так как сам опцион колл-пут по истечении первого периода не порождает ни расходов, ни доходов, то эти платежи должны финансировать сами себя. Вследствие этого мы должны выбрать доли портфеля в момент времени t = О таким образом, чтобы связанные с ним в момент времени t = 1 доходы были бы в точности так же велики, как необходимые в этом моменте времени расходы. Это означает следующее:
SqU ns.Q + Boil + rj) II ПЛ) = "ly.l • -boU + 1 • Bu
Sod iis.o + Boil + //) • iiu,o = i4a • Sod + jil By.
Левая часть первой (второй) формулы описывает возвратные потоки из владения акциями и облигациями в момент времени t ~ 1 при условии, что курс акции повысился (понизился). В правой части находятся доходы, которые необходимы для финансирования (зависимых от ситуаций) эквивалентных портфелей в момент времени f = 1. С учетом данных примера и промежуточных результатов для структурных переменных эквивалентного портфеля это означает:
.4.45.60 • ns.o + 106.00 пв,о = 25.34. 313.60 IIS.O + 106.00 /гд.о = 7.15.
что, наконец, приведет к решения.м п.о = 0.5683 и пв.о - -1.6138.
Имея эти числа, мы точно знаем, что необходимо делать сегодня [1 - 0) и позже [t = 1) для того, чтобы посредством покупки и продажи акций и облигаций поставить себя в положение, которое в отношении ожидаемых денежных потоков никоим образом не отличается от приобретения опциона колл-пут. Цена приобретаемого сегодня портфеля составляет
"5,0 • So + n,i,o Во = 0.5683 320 - 1.6138 • 100 = 20.47,
и это число при условии свободного от арбитража рынка капитала должно в точности совпадать с ценой, которую инвестор обоснованно согласится заплатить .за оацион колл-пут.
При помоп.;и табл. 6.10 можно подтвердить, что наше решение действительно имеет желаемое свойство дублирования опциона колл и пут. Мы покупаем в момент времени = О акции в количестве 0.5683 и одновременно продаем без покрытия 1.6138 облигаций. Это сегодня связано с чистыми расходами в объеме 20.47 руб. Рассмотрим для примера, что случится, если курс акции по истечении одного периода повысится. За счет держания акции мы получим доходы в объеме 0.568.3.- 345.60 = 196.41 руб., в то время как продажа облигации без покрытия вынудит нас осуществить расходы