тул и платим цену 1/(1 +7-,,/), или мы приобретаем все примитивные ценные бумаги, а значит, платим тг,, + тг,;. В условиях свободного от арбитража рынка должно быть верным

7Г„ + тг,, =

(1 + /,,/) • тг„ + (1 + /,./) • тг,, =

1 + r,j

(6.11)

Вторая формула оценки должна относиться к рисковым денежным потокам. Рисковым (негарантированным) является в нашей модели лишь валютный курс. Для выведения этого уравнения задумаемся о следующем: если сегодня кто-то обменяет одну отечественную денежную единицу на иностранную валюту, он делает капиталовложения, зарабатывая в течение одного периода доход, соответствующий иностранной ставке процента, чтобы в конце поменять ее «обратно» по действующему в это время курсу; тогда в зависимости от того, благоприятна динамика курса или нет, он получит:

(1 + 7-„j) • 5ои или

77- (1 + /) Sod.

Отсюда в качестве второй формулы оценки выводится

(1 + /„,/) i/ • 7г„ -i- (1 + r„,j}(l 1T,I 1.

(6.12)

Если мы решим возникшую таким образом систему уравнений для цен Эрроу-Дебре при использовании правила Крамера, то получим

1 + X/

"(1+ «./) d{[ + r„j)

1 + V/ 1 + •;,/

(1 + ту/)-(/(] + >•„,/) {\+r:j)- {и{[ + r„,f)-d{l + r„j))

1 (l+7-,./)-r/(l+7-,.j)

1 + г,,/ {и-d){\ +

(6.13)

7Г<, =

и (1 + ?•„,/)

1 + 7-,./

?/(1+7а,/) rf(l + r„j) 1 + r,,f 1 + Г,,/

1 77 (1 +7-,,,/) - (1 + /,,/)

1+г,,/ (u-ri)(l-r„./)

(6.14)

Перед тем как мы подставим эти результаты в формулу оценки (6.10), рекомендуется преобразовать уравнения цен (6.13) и (6.14) в несколько

(«-d)(l-r„,/) •

Это сделано быстро. Суммирование двух последних уравнений приведет действительно к

1 , (1 + г,./) -d{l + Taj) + Ц (1 + Taj) - (1 + r,j)

(«-d)(l+r„,/)

(-d+M)(l+r„j)

С использованием псевдовероятности мы можем записать цены Эрроу-Дебре как

7г„=--И TTd = - • (1 -р*). 1 + Гг,/ 1 -Ь Tij

Подстановка в уравнение оценки (6.10) дает

Ро = -(р*Р. + (1-р*)Р.)

Р„ = тах(А - 5ом,0), Prf = max(A-5od,0) и

(1 + Г,,/)- d (1+Г,./)

(«-d)(l + r„,/)

и мы у цели.

2. Если мы хотим показать, что существование возможности арбитража при р* е [0,1] исключено, то нам нужно исследовать, что случится, если псевдовероятность не принадлежит этому интервалу. При этом мы исходим из того, что и> d> 0.

Давайте сначала исследуем случай р* > 1. Подстановка в (6.15) даст

(1 + Г<./)-г(1 + Га,/) {u-d){l + raj) 1 +rij -d{l + ra,f) > {и -d){\ + raj),

-±-d>u-d,

1 + Га,/

(1 +r,,/) > u(l +r,/),

(1 +ri,/) -«(1+Га,/) >0. (6.16)

более подходящую форму. Для этой цели мы определим псевдовероятность

(l + r,./)-d(l + r„./) (u-d)(l+r„,,)

и покажем, что верно

Тогда при условии, что м > > О, должно быть верным

(l + r,j)-d(l+?„,/)» О

(6.17)

и это указывает на возможность арбитража. Но данное утверждение еще должно быть доказано. Мы начнем с того, что проиллюстрируем оба неравенства, (6.16) и (6.17). Мы представляем себя в ситуации инвестора, который ведет свои расчеты в рублях. Он хочет взять за границей кредит, а именно в том объеме, который позволит ему по сегодняшнему курсу стать владельцем одного рубля. Далее он инвестирует сумму кредита на отечественном рынке капитала, так что через один год имеет гарантированные денежные потоки величиной в (1 + rij). Иностранный кредит должен быть обслужен им в момент времени t = = 1 при (1 + Taj)- Если субъект был бы нерезидентом, то речь и здесь шла бы о гарантированном платеже. Но наш получатель кредита может выполнить свои обязательства по возврату кредита лишь в том случае, если он приобретет необходимую валюту по действующему в соответствующий момент курсу, вследствие чего сумма возврата кредита, включая проценты, с сегодняшней точки зрения является рисковой. Она составляет или м (1 -Ьraj), или d{l + raj). Действия инвестора порождают сегодня нулевые чистые платежи и приведут позже к положительным избыткам (ср. табл. 6.7), если мы предположим, чтор* > 1. Такое погашение противоречит теореме доминирования, так как инвестор сегодня ничего не платит за положительные возвратные потоки.

Таблица 6.7. Валютный арбитраж при р* > 1

< 0.

А сейчас давайте обратимся к случаю р* < О и подставим опять данные в (6.15). Это дает

[l+r,j)-d{\+raj) {и -d){l + raj)

При и дальше действующем условии, что и > d > О и иностранная ставка процента не становится отрицательной, мы умножим уравнение на знаменатель левого члена и получим после незначительных преобразований

Q<d[l+raj)-[l+r,j)