назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100]


95

поток на соответствующие цены Эрроу-Дебре, то стоимость на свободном от арбитража рынке должна совпасть с сегодняшним курсом акции (теорема аддитивности стоимости). Соответствующее уравнение для облигации не требует объяснения. Если мы разделим первое уравнение на 5о, а второе - на Во, то получим

("+£) u+{d+) 7Г,= 1, (1-ЬГ/)7Г„+ (1 -ЬГ/)7Г = 1.

Отсюда с помощью правила Крамера мы выведем следующие результаты для обеих цен

1 1+Г/

(1 + г7)--£

1+Г/ 1 + Г/

1 /(l + r/)-d 1 + г, V u-d

(1+./) (u+ D

l + rf 1

So(w - d) 1 /w-(l + r/)

1 + Г/ 1 + Г/

1+ Г/

So{u - d) J

Если мы подставим эти результаты в уравнение оценки (6.С), то получим искомую формулу для расчета равновесной цены опциона колл. Она выглядит следующим образом:

1 + Г-/

(l+r/)-d

u - d So{u - d)

1 /м - (1 +?/)

1 + Г/

D \

(6.7)

So{y-d)J

Для того чтобы придать этому громоздкому выражению некоторую элегантность, мы определим число

. (l+r/)-d D

u - d So{u - d)

как псевдовероятность. Далее мы покажем, что

1-р- = »-(+--/)+ .

u - d Sq[u - d)

(6.8)

(6.9)

Мы просуммируем оба последних уравнения и получим в действительности

D «-(l+r/) D

р + 1 - р =

(1 + г/)-г

So(u-d)

So(u-d)



1 + Г/

Co = Y{pCu + {l-p*)Cd)

Cu=max{Sou- К,0), Cd = msL\{Sod- К,0) и {l + rf)-d D

u-d So{u-d)

Обычная модель без дивидендов отличается от нашей новой модели только тем, что мы должны были изменить определение псевдовероятности. В модели без дивидендов псевдовероятность выглядит следующим образом:

(1 + Г/) - d Г/ - rd

Р ~ J ~

u-d Ги - Td

что является специальным случаем модели с дивидендом, так как при D = 0 новая псевдовероятность переходит в старую. 2. Используя числа из предыдущей задачи и дивиденд величиной в D = = 12, мы получим

С„ = тах(650- 1.12 - 650,0) = 78, Cd = max (650 • 0.95 - 650, 0) = О, . 1.04-0.95 12

1.12 - 0.95 650-(1.12 - 0.95) 0.5294- 0.1086 = 0.4208 и

Со = • (0.4208 78 + 0.5792 • о) = 31.56. 1.04 \ /

6.3.2. Валютный опцион пут

Найдите формулу для оценки валютного опциона пут в рамках так называемой модели «два момента времени-две ситуации». Используйте следующие символы:"

" Мы используем не косвенную котировку, а прямую. Это означает для инвестора, ведущего свои расчеты в рублях, что курс составляет 28.00 руб. за 1 доллар США.

{l + rf)-d u-{l + rf) и - d и - d

{l + rf)-d + u-{l + rf) и - d

Наконец, подстановка (6.8) и (6.9) в уравнение (6.7) приведет в измененных условиях к результату



1. Чтобы суметь дать свободную от предпочтений оценку валютного опциона пут, нам необходим полный рынок капитала. Он дан, так как в момент времени t = 1 мы имеем дело с двумя ситуациями («вверх» и «вниз») и при этом обращаются два финансовых титула с линейно независимыми друг от друга денежными потоками, а именно отечественное (безрисковое) и иностранное (рисковое) инвестирование. На этой основе и при имеющихся здесь условиях можно однозначно определить цены Эрроу-Дебре и использовать их при работе с уравнением оценки

Ро = РиТТ„+ Р,,па. (С. 10)

При этом символы 7г„ и п,1 обозначают обе цены Эрроу-Дебре, а Р,, и P,i - зависимые от ситуации денежные потоки валютного опциона пут при

Ри = max (Л - So и,. 0), Л; = max (К - Sod.Q).

Для того чтобы суметь оценить опцион пут, нам снова необходимы две формулы цен Эрроу-Дебре. Первая из них будет найдена нами, если мы уясним для себя, что существуют два способа для того, чтобы приобрести требования на гарантированные потоки величиной в одну отечественную денежную единицу: или мы покупаем безрисковый ти-

So - сегодняшний валютный курс, So и - будущий валютный курс при благоприятном развитии событий,

5() d - будущий валютный курс при неблагоприятном

развитии событий, r„j - безрисковая ставка процента по активам в

иностранной валюте, Tij - безрисковая ставка процента по активам в отечественной валюте, К - цена исполнения валютного опциона пут, U = 1 + г„ - благоприятный фактор повышения стоимости валюты, с/ = 1 + г,1 - неблагоприятный фактор повышения стоимости валюты.

1. Опишите свою модель с помощью принятых допущений, на которые вы хотели бы опереться, и после этого выведите соответствующую формулу оценки.

2. Покажите, что существуют возможности арбитража, если псевдовероятность выводимого здесь уравнения оценки не принадлежит интервалу [0,1].

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100]