6.2.2. Американский опцион пут в биномиальной модели

1. Опишите детально, что нужно учесть в рамках биномиальной модели, чтобы рассчитать теоретическую цену американского опциона пут.

2. Используйте этот метод сейчас в следующем числовом примере: речь идет об опционе пут на акции; этот опцион можно исполнить не позднее чем через три периода. Акция котируется сегодня по цене 160 руб. и меняет свой курс в каждом из трех периодов или на 8 % вверх или на 10 % вниз. Безрисковая ставка процента составляет 6 %, а базисная цена согласована на уровне сегодняшнего курса акции.

и из этого непосредственно следует

ЧТО и требовалось доказать. 2. Между опционами колл и пут есть одно существенное различие, которое является решающим для преждевременного исполнения. Опционы колл (при прочих равных условиях) тем более ценны, чем выше курс лежащей в их основе акции. Так как верхняя граница курса акции отсутствует, верхней границы стоимости опциона на покупку также не существует. В случаях с опционами пут дело обстоит по-другому. Они, при прочих равных условиях, тем более ценны, чем ниже курс акции, лежащей в их основе. Однако нижняя граница курса акции существует, так как акционеры не несут ответственности в пределах своего личного имущества. Курс акции не может стать отрицательным, и по этой причине стоимость опциона пут ограничена «сверху». Предположим, что курс одной акции в момент времени t <Т упал до нуля. Тогда «мертвый» американский пут имеет стоимость

= шах(/< - 5,,0) = К.

Если мы подождем до момента времени Т, то сможем достичь лишь К. Однако в случае преждевременного исполнения мы имели бы то преимущество, что могли бы уже в момент времени t < Т вложить К по безрисковой ставке процента и в конечном счете получили бы имущество величиной в

К{1 + rjf- > А.

Значит, если курс акции достаточно низок, то выгодно преждевременное исполнение опциона на продажу.

Если вы достигли момента времени оценки (/ = 0), то это означает, что ваша работа завершена и вам следует приостановить процедуру оценки. В протнвцом случае вы уменьшите момент времени расчета на один субпериод и в этом случае примените описанные прежде расчеты соответственно. 2. Для расчета американского опциона пут при данных условиях мы в точности придерживаемся ранее представленного метода.

• Мы начнем с полного описания биномиального процесса динамики курса акции. Если сегодняшний курс акции равен 1G0.00 и цена каждый раз или повышается на 8 %, или снижается на 10 %, то вы увидите результат, показанный на рис. G.3.

• Теперь мы рассчитаем для всех конечных «узлов» зависимые от ситуации значения стоимости опциона пут из формулы

Р,з = П1ах(160-5з,0).

1. В рамках биномиальной модели можно точно рассчитать теоретическую стоимость американского опциона пут. Для этой цели рекомендуется следующий метод.

• Начните с полного описания биномиального процесса динамики курса акции с помощью дерева ситуаций. В каждом «узле» дерева можно назвать соответствующий этой ситуации курс акции.

• Теперь рассчитайте для всех «узлов» в конце срока обращения зависимые от ситуации значения стоимости опциона пут из формулы

Р„.г = max (Л - 57,0).

• После этого обратитесь непосредственно к предыдущему моменту времени и рассчитайте зависимые от ситуации значения стоимости «живого» американского опциона пут из формулы

причем Р„ и Р,1 обозначают те стоимости опциона пут, которые достигаются, если курс акции исходя из интересующей нас ситуации повышается или снижается.

После этого рассчитайте зависимые от ситуации значения стоимости «мертвого» американского опциона пут с помощью

Р;/. = шах (Л - 3,Л)).

Наконец, путем сравнения выясните, какая из этих двух стоимостей выше. Определите зависимую от ситуации стоимость американского опциона пут данного момента времени с помощью

Р„,т-1 =тах (P„Vi.P;Vr-i)-

t = 2

Рис. 6.3. Динамика курса акции

Опцион пут является ничего не стоящим, если курс акции в конце срока обращения превышает 160.00. Наоборот, исполнение выгодно при курсах акции, равных 139.97 и 116.64. Стоимость опциона пут в этом благоприятном случае равна 20.03 и 43.36, ср. рис. 6.4.

• Сейчас мы сначала рассчитаем псевдовероятности при

г/ - и 0.06 + 0.10 Р=;Г37; = 0.08 + 0.10 =°-

и обратимся после этого к моменту времени t = 2.

- Если курс акции поднялся бы до 186.62, то тогда было бы совсем бессмысленно использовать сейчас опцион пут. Но и тогда, когда опцион хранится еще один период, уже нельзя рассчитывать на доходы. При такой динамике курса исполнение опциона приведет к денежным потерям и он абсолютно ничего не стоит.

- При курсе акции, равном 155.52, нужно подумать о том, выгодно ли реализовывать право преждевременного использования. Если мы не реализуем это право, то тогда стоимость «живого» опциона пут составит

Pjy2 = (0.8889 • 0.00 + 0.1111 20.03) = 2.09.