назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [ 89 ] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


89

6.1.3. Биномиальная модель

Формула, которая подходит для расчета теоретической цены опциона на покупку, выглядит следующим образом:

к=а ~

причем к - это количество повышений курса акций в течение срока обращения опциона.

1. Проинтерпретируйте отдельные члены этой формулы и опишите в деталях способ выведения этой формулы оценки из экономической модели.

2. Предполагается, что курс акции в течение ближайших четырех периодов соответственно или повысится на 12/о, или снизится на 15%. Акция обращается сегодня по цене, равной 155 руб., а безрисковая ставка процента составляет 6.25% . Рассчитайте с помощью вышеприведенной формулы теоретическую цену опциона на покупку с базисной ценой 180 руб., если она должна быть оплачена через четыре периода.

* * •л-

1. Необходимо проинтерпретировать формулу для расчета стоимости опциона на покупку в рамках биномиальной модели. В этой формуле действующий курс акции обозначен символом о, цена исполнения - К, число субпериодов до погашения опциона - п, ставка процента субпериода - г/, доходности акции в отдельных субпериодах - г„ и Td и псевдовероятность - р = JZ\ Параметр а, наконец, означает количество направленных вверх биномиальных шагов, которые должен осуществить курс акции для того, чтобы исполнение опциона колл при погашении было выгодным.

4. Стоимость опциона колл удается получить с помощью умножения характеризующих его зависимых от ситуации денежных потоков на цены Эрроу-Дебре и суммирования по всем ситуациям

Со = Е 7Г2я =

,5=1

= 0.00 0.2310 + 0.00 0.2267 + 1.15 0.2267 + 3.04 • 0.2224 = = 0.94 руб.



При этом символ £[•] означает псевдоматематическое ожидание стоимости опциона колл в конце срока обращения. Если мы перенесем эту идею на случай биномиальной модели с /( шагами, то выйдем на аналогичное уравнение оценки в форме

Если курс акции осуществит h повышений и (?; - А) снижений, то по истечении п субпериодов он примет значение

S„ = 5„ (1 +r„f{l + rdy"\

а стоимость опциона колл в конце срока обращения при тех же условиях составит

С, = max(So(l + r„f{l + r,,)"" - h\0).

Описанная в рамках биномиальной модели ситуация наступит с вероятностью

Таким образом, псевдоматематическое ожидание стоимости опциона колл по истечении г? субпериодов составит

Сп = У2 - Р)"" "ах (5о • (1 + ги){1 + Tdr- - К, 0) .

Подстановка в исходное уравнение (С.4) приведет после дальнейших алгебраических манипуляций к вышеуказанному уравнению оценки.

Ядро экономической модели, из которого можно вывести вышеприведенную формулу оценки, можно объяснить на основе так называемой модели «два момента времени-две ситуации». Эта модель основана на предположении, что опцион колл нужно оценить в момент времени t = = О и сроком его обращения является момент времени t = I. Лежащий в основе опциона колл курс акции сейчас составляет Sq либо повышается до So • (1 + /•„) либо снижается до 5о (1 + Vd). Таким образом, оцениваемый опцион колл в момент времени t = 1 имеет или стоимость Си = тах(5о(1 + г„) - Л,0), или стоимость Cd = шах(5о(1 + г,;) - R\0). С помощью принципа свободной от арбитража оценки можно показать, что в этом случае справедливая цена опциона колл составляет

Co = --(pCu + (l-p)Q,

или в другой форме



2. Для того чтобы можно было делать выводы из уравнения оценки с данными из задачи, мы сначала рассчитаем псевдовероятность р при

0.0625 + 0.15

Г} - Г,1

= 0.787

Ги-rd 0.12 + 0.15

и после этого количество минимально необходимых повышений курса акции для успешного исполнения опциона колл. Мы получим это, если выразим формулу

So и" d"-" = К через а. Логарифмирование и перестановка приведут к

а = in

= 1п

\5о(1 + г,,)";

180 \ 155 •0.85-1

/1 + г,Д V 1 + г,1) /1.12\

0.7996

= 2.8987.

0.85

0.2758

Следовательно, необходимы а = 3 повышений курса акции для успешного исполнения опциона колл. Далее мы вычислим значение члена

,„ ,(l + r„)-(l + -rf)""

(1+Г/)"

и получим

0.7870.213

j 1.12*-0.851 /4

1.0625!

Соответственно получаем для

1.12-0.85"

0.7870.21.3"

= 0.8629.

Р(1-Р)

0.7870.2131

0.7870.213" = 0.7990.

Если наконец все это подставить в уравнение оценки, то для теоретической стоимости опциона колл мы получим

Со = 155 - 0.8629 - 180 - 1.0625-! - 0.7990 = 20.90 руб.

6.1.4. Модель Блэка-Скоулза

Акция одного предприятия котируется 8 января по цене 245 руб. В тот же день можно было продать и купить опцион колл этой акции со сроком обра-ш,ения до 15 июня того же года с базисной ценой, равной 260 руб., по цене 6.10 руб. Соответствующая безрисковая годовая ставка процента составляла

Г/ = 7%.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [ 89 ] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]