6.1.3. Биномиальная модель
Формула, которая подходит для расчета теоретической цены опциона на покупку, выглядит следующим образом:
к=а ~
причем к - это количество повышений курса акций в течение срока обращения опциона.
1. Проинтерпретируйте отдельные члены этой формулы и опишите в деталях способ выведения этой формулы оценки из экономической модели.
2. Предполагается, что курс акции в течение ближайших четырех периодов соответственно или повысится на 12/о, или снизится на 15%. Акция обращается сегодня по цене, равной 155 руб., а безрисковая ставка процента составляет 6.25% . Рассчитайте с помощью вышеприведенной формулы теоретическую цену опциона на покупку с базисной ценой 180 руб., если она должна быть оплачена через четыре периода.
* * •л-
1. Необходимо проинтерпретировать формулу для расчета стоимости опциона на покупку в рамках биномиальной модели. В этой формуле действующий курс акции обозначен символом о, цена исполнения - К, число субпериодов до погашения опциона - п, ставка процента субпериода - г/, доходности акции в отдельных субпериодах - г„ и Td и псевдовероятность - р = JZ\ Параметр а, наконец, означает количество направленных вверх биномиальных шагов, которые должен осуществить курс акции для того, чтобы исполнение опциона колл при погашении было выгодным.
4. Стоимость опциона колл удается получить с помощью умножения характеризующих его зависимых от ситуации денежных потоков на цены Эрроу-Дебре и суммирования по всем ситуациям
Со = Е 7Г2я =
,5=1
= 0.00 0.2310 + 0.00 0.2267 + 1.15 0.2267 + 3.04 • 0.2224 = = 0.94 руб.
При этом символ £[•] означает псевдоматематическое ожидание стоимости опциона колл в конце срока обращения. Если мы перенесем эту идею на случай биномиальной модели с /( шагами, то выйдем на аналогичное уравнение оценки в форме
Если курс акции осуществит h повышений и (?; - А) снижений, то по истечении п субпериодов он примет значение
S„ = 5„ (1 +r„f{l + rdy"\
а стоимость опциона колл в конце срока обращения при тех же условиях составит
С, = max(So(l + r„f{l + r,,)"" - h\0).
Описанная в рамках биномиальной модели ситуация наступит с вероятностью
Таким образом, псевдоматематическое ожидание стоимости опциона колл по истечении г? субпериодов составит
Сп = У2 - Р)"" "ах (5о • (1 + ги){1 + Tdr- - К, 0) .
Подстановка в исходное уравнение (С.4) приведет после дальнейших алгебраических манипуляций к вышеуказанному уравнению оценки.
Ядро экономической модели, из которого можно вывести вышеприведенную формулу оценки, можно объяснить на основе так называемой модели «два момента времени-две ситуации». Эта модель основана на предположении, что опцион колл нужно оценить в момент времени t = = О и сроком его обращения является момент времени t = I. Лежащий в основе опциона колл курс акции сейчас составляет Sq либо повышается до So • (1 + /•„) либо снижается до 5о (1 + Vd). Таким образом, оцениваемый опцион колл в момент времени t = 1 имеет или стоимость Си = тах(5о(1 + г„) - Л,0), или стоимость Cd = шах(5о(1 + г,;) - R\0). С помощью принципа свободной от арбитража оценки можно показать, что в этом случае справедливая цена опциона колл составляет
Co = --(pCu + (l-p)Q,
или в другой форме
2. Для того чтобы можно было делать выводы из уравнения оценки с данными из задачи, мы сначала рассчитаем псевдовероятность р при
0.0625 + 0.15
Г} - Г,1
= 0.787
Ги-rd 0.12 + 0.15
и после этого количество минимально необходимых повышений курса акции для успешного исполнения опциона колл. Мы получим это, если выразим формулу
So и" d"-" = К через а. Логарифмирование и перестановка приведут к
а = in
= 1п
\5о(1 + г,,)";
180 \ 155 •0.85-1
/1 + г,Д V 1 + г,1) /1.12\
0.7996
= 2.8987.
0.85
0.2758
Следовательно, необходимы а = 3 повышений курса акции для успешного исполнения опциона колл. Далее мы вычислим значение члена
,„ ,(l + r„)-(l + -rf)""
(1+Г/)"
и получим
0.7870.213
j 1.12*-0.851 /4
1.0625!
Соответственно получаем для
1.12-0.85"
0.7870.21.3"
= 0.8629.
Р(1-Р)
0.7870.2131
0.7870.213" = 0.7990.
Если наконец все это подставить в уравнение оценки, то для теоретической стоимости опциона колл мы получим
Со = 155 - 0.8629 - 180 - 1.0625-! - 0.7990 = 20.90 руб.
6.1.4. Модель Блэка-Скоулза
Акция одного предприятия котируется 8 января по цене 245 руб. В тот же день можно было продать и купить опцион колл этой акции со сроком обра-ш,ения до 15 июня того же года с базисной ценой, равной 260 руб., по цене 6.10 руб. Соответствующая безрисковая годовая ставка процента составляла
Г/ = 7%.