Таблица 6.1. Синтетический опцион на покупку

6.1.2. Рентный опцион

На рынке капитала обращается бескупонная облигация, владелец которой по истечении п = 3 периодов получит платеж величиной в 100 руб. Кроме того, на рынке продается и покупается европейский колл на этот титул, срок обращения которого заканчивается в периоде v = 2. Цена исполнения определена равной К - 95 руб.

Существует возможность предоставления или получения кредита на один период по фактически действующей ставке процента. Сегодня она составляет Го = 0.05, но по истечении времени будет менять свой уровень, а именно таким образом, как показано на рис. 6.1. Мы обозначим существующую в момент времени t в ситуации s безрисковую ставку процента символом vts-

0.05

0.07

0.03

0.08 0.06 0.04 0.02

t = Q t=\ t = 2 Рис. 6.1. Ожидаемая динамика ставки процента

1. Определите зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной облигации.

2. В каких ситуациях будет исполнен опцион колл? Одновременно рассчитайте зависимые от ситуации платежи по опциону.

3. Сопоставьте системы матричных уравнений для расчета цены примитивных ценных бумаг ttjs и рассчитайте эти цены.

4. Какую стоимость имеет опцион колл сегодня?

f = о ( = 1 ( = 2

Рис. 6.2. Зависимая от времени и ситуации динамика стоимости бескупонной облигации

Далее, в качестве примера мы рассчитаем ту стоимость, которая образуется ц момент времени t = 2 при условии, что наступит ситуация 5 = 3. Мы назовем эту стоимость Хгз-

В конце срока своего обращения {t = 3) бескупонная облигация будет погашена за 100 руб. Значит, в момент времени t = 2 облигация имеет еще остаточный срок погашения, равный 1 году. Если к этому моменту времени безрисковая ставка процента составляет 7-2з = 0.04, то мы должны в течение года дисконтировать на основе этой ставки процента, вследствие чего получаем

Х23 = 100- 1.04-1 gg

2. Европейский опцион колл будет исполнен в том случае, если Х > А. Поэтому верно

= max (X2.S - А, О).

Таким образом, мы получаем следующие зависимые от ситуации денежные потоки

С21 С22 С23 С24 0.00 0.00 1.15 3.04

3. Чтобы выяснить цены примитивных ценных бумаг в обсуждаемом здесь случае, можно составить три системы уравнений. Выплачиваемая (сегодня) цена Эрроу-Дебре для требований на 1 рубль в момент времени t в ситуации я обозначается символом тг,,.

Сначала мы концентрируем внимание на требования в момент времени t = 1. Так как в этом моменте времени существуют две ситуации, нам необходимы две рыночные ценные бумаги с линейно независимыми денежными потоками. Первой бумагой, естественно, является бескупонная облигация, второй титул представляет собой безрисковое денежное вложение по существующей сегодня ставке процента го = 0.05. Поэтому

1. Зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной облигации изображены на рис. 6.2.

в матричной форме запись системы уравнений выглядит следующим образом:

\1+П) 1 + Го

и с цифрами из нашего примера

/87.34 94.2б\

1.05 1.0;

В результате получаем

\1r12J

/86.38 1.00

(6.1)

412/

/87.34 94.26\

1.05 1.05

/86.38\

1, i.oo;

/0.4898\ 0.4626 j

Теперь давайте обратимся к анализу требований, которые возникают в момент времени t = 2. Очевидно, необходимо различать два сценария. • Первый сценарий характеризуется тем, что в момент времени t = - 1 безрисковая ставка процента повысилась до гц = 0.07. Тогда в момент времени t = 2 могут наступить лишь ситуации 1 и 2. Сколько денег мы должны заплатить сегодня, чтобы быть в состоянии при этом сценарии в момент времени = 1 купить бескупонную облигацию? Это, очевидно, тгцХц = 0.4898-87.,34 = 42.78. Тогда денежные потоки в момент времени t = 2 составят или 92.59, или 94.34 руб. Но если мы хотим быть в состоянии вложить в момент времени t = 1 один руб. по безрисковой ставке процента гц = 0.07, то нам нужно заплатить сегодня тгц = 0.4898 и получить в момент времени t = 2 не зависимые от ситуации 1.07 руб. Отсюда можно вывести следующую систему уравнений в матричном виде:

/ Х21

\1 +Г11

Х22 \ 1 + -11

/2Л \П22)

тхцХц

(6.2)

Она имеет решение

/92.59 94.34\ / 42.78 \ /0.2310\

1.07 1.07

0.4898

\TX22j

• Для второго сценария аналогично имеем

0.2267J

с решением

/ Х23

1 +Г12

Х24 \ 1 + Г12)

(П2Л \n24J

12X12 \ 12 j

(6.3)

7Г2з \TT24j

/96.15 1.03

1.03

0.2224j •