Таблица 6.1. Синтетический опцион на покупку
Титул | Количество | Денежный поте Курс акции «вверх» | ж в ситуации Курс акции«вниз» | Цена |
Акция Облигация | 0.70,59 -4.1912 | 513.88 -435.88 | 435.88 -435.88 | 458.83 -419.12 |
Портфель | | 78.00 | 0.00 | 39.71 |
6.1.2. Рентный опцион
На рынке капитала обращается бескупонная облигация, владелец которой по истечении п = 3 периодов получит платеж величиной в 100 руб. Кроме того, на рынке продается и покупается европейский колл на этот титул, срок обращения которого заканчивается в периоде v = 2. Цена исполнения определена равной К - 95 руб.
Существует возможность предоставления или получения кредита на один период по фактически действующей ставке процента. Сегодня она составляет Го = 0.05, но по истечении времени будет менять свой уровень, а именно таким образом, как показано на рис. 6.1. Мы обозначим существующую в момент времени t в ситуации s безрисковую ставку процента символом vts-
0.05

0.07
0.03
0.08 0.06 0.04 0.02
t = Q t=\ t = 2 Рис. 6.1. Ожидаемая динамика ставки процента
1. Определите зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной облигации.
2. В каких ситуациях будет исполнен опцион колл? Одновременно рассчитайте зависимые от ситуации платежи по опциону.
3. Сопоставьте системы матричных уравнений для расчета цены примитивных ценных бумаг ttjs и рассчитайте эти цены.
4. Какую стоимость имеет опцион колл сегодня?

f = о ( = 1 ( = 2
Рис. 6.2. Зависимая от времени и ситуации динамика стоимости бескупонной облигации
Далее, в качестве примера мы рассчитаем ту стоимость, которая образуется ц момент времени t = 2 при условии, что наступит ситуация 5 = 3. Мы назовем эту стоимость Хгз-
В конце срока своего обращения {t = 3) бескупонная облигация будет погашена за 100 руб. Значит, в момент времени t = 2 облигация имеет еще остаточный срок погашения, равный 1 году. Если к этому моменту времени безрисковая ставка процента составляет 7-2з = 0.04, то мы должны в течение года дисконтировать на основе этой ставки процента, вследствие чего получаем
Х23 = 100- 1.04-1 gg
2. Европейский опцион колл будет исполнен в том случае, если Х > А. Поэтому верно
= max (X2.S - А, О).
Таким образом, мы получаем следующие зависимые от ситуации денежные потоки
С21 С22 С23 С24 0.00 0.00 1.15 3.04
3. Чтобы выяснить цены примитивных ценных бумаг в обсуждаемом здесь случае, можно составить три системы уравнений. Выплачиваемая (сегодня) цена Эрроу-Дебре для требований на 1 рубль в момент времени t в ситуации я обозначается символом тг,,.
Сначала мы концентрируем внимание на требования в момент времени t = 1. Так как в этом моменте времени существуют две ситуации, нам необходимы две рыночные ценные бумаги с линейно независимыми денежными потоками. Первой бумагой, естественно, является бескупонная облигация, второй титул представляет собой безрисковое денежное вложение по существующей сегодня ставке процента го = 0.05. Поэтому
1. Зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной облигации изображены на рис. 6.2.
в матричной форме запись системы уравнений выглядит следующим образом:
\1+П) 1 + Го
и с цифрами из нашего примера
/87.34 94.2б\
1.05 1.0;
В результате получаем
\1r12J
/86.38 1.00
(6.1)
412/
/87.34 94.26\
1.05 1.05
/86.38\
1, i.oo;
/0.4898\ 0.4626 j
Теперь давайте обратимся к анализу требований, которые возникают в момент времени t = 2. Очевидно, необходимо различать два сценария. • Первый сценарий характеризуется тем, что в момент времени t = - 1 безрисковая ставка процента повысилась до гц = 0.07. Тогда в момент времени t = 2 могут наступить лишь ситуации 1 и 2. Сколько денег мы должны заплатить сегодня, чтобы быть в состоянии при этом сценарии в момент времени = 1 купить бескупонную облигацию? Это, очевидно, тгцХц = 0.4898-87.,34 = 42.78. Тогда денежные потоки в момент времени t = 2 составят или 92.59, или 94.34 руб. Но если мы хотим быть в состоянии вложить в момент времени t = 1 один руб. по безрисковой ставке процента гц = 0.07, то нам нужно заплатить сегодня тгц = 0.4898 и получить в момент времени t = 2 не зависимые от ситуации 1.07 руб. Отсюда можно вывести следующую систему уравнений в матричном виде:
/ Х21
\1 +Г11
Х22 \ 1 + -11
/2Л \П22)
тхцХц
(6.2)
Она имеет решение
/92.59 94.34\ / 42.78 \ /0.2310\
1.07 1.07
0.4898
\TX22j
• Для второго сценария аналогично имеем
0.2267J
с решением
/ Х23
1 +Г12
Х24 \ 1 + Г12)
(П2Л \n24J
12X12 \ 12 j
(6.3)
7Г2з \TT24j
/96.15 1.03
1.03
0.2224j •