назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


87

Глава VI

Теория ценообразования опционов

Опционы наряду с форвардами, фьючерсами и свопами являются производными финансовыми титулами. Общее у них то, что их цена зависит от случайно изменяющейся цены лежащих в их основе финансовых титулов (по-англ.: underlying assets). Важно уяснить для себя, что при условиях полных рынков капитала из финансовых титулов и производных ценных бумаг удается сконструировать портфели, которые являются безрисковыми (хеджирование). И наоборот, если безрисковая ценная бумага и финансовые титулы обращаются на полном рынке, то тогда возможно совершенное дублирование денежных потоков по производным финансовым титулам. Это является основой для так называемой свободной от предпочтений оценки производных финансовых титулов. Мы покажем в этой главе, как с помощью этой основной идеи можно найти справедливую цену для разных типов опционов. При этом мы ограничимся исключительно моделями с дискретным временем. Лишь в одной-единственной задаче используется модель с непрерывным временем Блэка-Скоулза.

6.1. Европейские опционы

В учебной литературе принято сосредоточивать внимание на европейских опционах на бездивидендные акции. Мы будем следовать этому дидакди-чески испытанному методу при решении первых трех задач, причем мы перейдем от простой модели «двух моментов времени-двух ситуаций» через биномиальную модель к модели Блэка-Скоулза. Кроме того, мы хотим уяснить для себя, каким образом цена опциона на покупку (опциона колл) зависит от главных определяющих ее факторов. Далее будет показано, что с точки зрения одного владельца акции безразлично, хеджирует ли он с помощью опциона колл или опциона пут, если оба опциона оцениваются лишь на основе справедливой цены.

6.1.1. Модель «два момента времени-две ситуации»

Исходите из наличия только двух моментов времени / = О (сегодня) и < = 1 (через год). Предположите, что акция, курс которой через год или повысится на 12%, или снизится на 5%, обращается по цене 650 руб. Безрисковая ставка процента составляет 4 %.



Со = --[рСи + (1-р)СА,

1 + г/ V /

в котором Си {C,i) представляет зависимый от ситуаций денежный поток опциона при повышении (понижении) курса акции, в то время как р обозначает псевдовероятность для случая повышения курса и vj - безрисковую ставку процента. С помощью г;, = 1 + г„ = 1.12ий=1 + + Га = 0.95 мы рассчитаем зависимые от ситуации денежные потоки

Си = max {Sq и - К, 0) = шах (650 1.12 - 650. 0) = 78. Cd = max {So d - К. 0) = max (650 • 0.95 - 650.0) = О,

причем So - это сегодняшний курс акции и К - цена исполнения. Из определения псевдовероятности

Ги -

получаем

0.04-(-0.0.5) 009 0.12-(-0.05) 0.17

Если мы подставим все это в уравнение оценки, то тогда получим

Со = • (о.5294 • 78 + 0.4706 0 = 39.71 руб.

2. Псевдовероятность не содержит никакой информации о том, с какой вероятностью ожидает лицо, которое оценивает опцион, повышение курса акции. Следовательно, эта цифра и не оценивается, а рассчитывается из ожидаемой доходности акции и безрисковой ставки процента.

Название «псевдовероятность» основывается, с одной стороны, на том факте, что р в условиях свободы от арбитража является - как и любая

1. Какую цену вы заплатили бы при этих условиях за опцион, предоставляющий владельцу право покупки акции в момент времени t = 1 по сегодняшней цене?

2. Проинтерпретируйте псевдовероятность того, что курс акции повысится.

3. Покажите, что любая цена опциона колл, отличающаяся от найденной в п. 1, приведет к возможности арбитража.

* *

1. Для того чтобы рассчитать цену опциона колл Со, мы можем использовать уравнение оценки



другая вероятность - числом, находящимся в интервале между нулем и единицей. С другой стороны, можно показать, что нейтральные к риску лица, принимающие решение, должны ожидать повышения курса акции в точности с вероятностью р. Для таких инвесторов ожидаемая доходность акции должна была быть в точности так же велика, как и безрисковая ставка процента, и действительно мы имеем

рги + (1 - p)rd = 0.5294 0.12 + 0.4706 • (-0.05) = 0.04 =

3. Для демонстрации того, что любая другая цена опциона на покупку открывает возможности арбитража, мы покажем, что из акции и безрискового капиталовложения можно сконструировать портфель, который по своим зависимым от ситуации денежных потоков не отличается от опциона колл. Для зтой цели мы проинтерпретируем безрисковую ставку процента, равную 4 %, таким образом: сегодня облигация обращается по цене 100 руб., а через год за счет ее продажи удастся получить гарантированный доход в объеме 104 руб. Если мы обозначим символом lis количество приобретаемых акций и пв - количество приобретаемых облигаций, то тогда для .эквивалентного портфеля должна быть верной система уравнений

ns 728.0 71S 617.5-

пв 104.0 = 78, пв - 104.0= 0.

Первое (второе) уравнение обеспечит совпадение зависимых от ситуации денежных потоков эквивалентного портфеля и соответствующих денежных потоков потоков опциона на покупку в том случае, если курс акции повысится (понизится). Используя правило Крамера, мы получим для структурных переменных эквивалентного портфеля

lis =

78.0 0.0

104.0 104.0

728.0 617.5

104.0 104.0

= 0.7059

7lB =

728.0 78.0 617.5 0.0

728.0 104.0 617.5 104.0

= -4.1912.

Эквивалентный портфель является «синтетическим опционом на покупку». Его цена, как показывает табл. 6.1 и, кроме того, задача 1, составляет 39.71 руб. Если цена фактически обращающегося на рынке опциона отличается от цены синтетического опциона, то тогда вы извлечете арбитражную прибыль посредством покупки (продажи) фактических опционов и одновременной продажи (покупки) созданного нами опциона.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]